3.1.1 对函数概念的再认识（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

第3章 函数的概念与性质 3.1.1 对函数概念的再认识 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的定义域、值域、对应关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.函数的概念 概念 设A,B是两个非空的_________,如果按照某种确定的对应关系 f,对于集合A中的____________,在集合B中都有____________和它对应,那么称这样的对应f:A→B为定义于A取值于B的函数,也记作___________________ 三要素 x叫作________,x的_____________叫作函数的定义域;与x∈A对应的数y叫作_________,记作f(x),所有函数值组成的集合____________叫作函数的值域.值域是集合B的_____ 实数集 任何一个数x 唯一的数y y=f(x)(x∈A,y∈B) 自变量 取值范围A 函数值 {f(x)|x∈A} 子集 2.两函数相等 两个函数f(x)和g(x),当且仅当__________________且_______________都有f(x)=g(x)时,叫作相等.也就是说,即使两个函数的对应关系在形式上相同,但定义域不同,它们也不是同一个函数. 有相同的定义域U 对每个x∈U 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)根据函数的定义,定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　 ) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系. (　 ) (3)函数的定义域必须是数集,值域可以为其他集合. (　 ) (4)在函数的定义中,集合B是函数的值域. (　 ) ×　 ×　 ×　 × 2.已知函数f(x)=,则f等于(　 ) A.　　　　　　　 B. C.a D.3a 解析:f==3a. √ 3.已知四组函数: ①f(x)=x,g(x)=()2; ②f(x)=x,g(x)=; ③f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N); ④f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 其中是同一个函数的是(　 ) A.没有 B.仅有② C.②④ D.②③④ 解析:对于第一组,定义域不同;对于第三组,对应关系不同;对于第二、四组,定义域与对应关系都相同. √ 4.函数y=的定义域是_______________.  解析:由题意可得所以x≥-1且x≠1, 故函数y=的定义域为{x|x≥-1且x≠1}. {x|x≥-1且x≠1} 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　函数概念的理解 [例1]　已知集合A=[0,+∞),B=[1,+∞),下列对应关系中是从A到B的函数为 (　 ) A.f∶x→y=x　　 B.f∶x→y=x2 C.f∶x→y=2x D.f∶x→y=2x+2 √ 解析:对于A,B,C,在对应关系f中,当x=0时,y=0,则集合B中没有元素和x对应,不是从集合A到集合B的函数,故A,B,C错误;对于D,在对应关系f:x→y=2x+2中,因为x∈[0,+∞),所以y∈[2,+∞)⊆[1,+∞),则集合A中任意一个元素x在集合B中都有唯一的元素与之对应,满足函数的定义,是从集合A到集合B的函数,故D正确. [例2]　(多选)下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.f(x)=x,g(x)=()2 B.f(x)=x,g(x)= C.f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N) D.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1 解析:对于A,定义域不同;对于C,定义域、对应关系都不同;对于B、D,定义域与对应关系都相同. √ √ |思|维|建|模| 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 2.判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数,即使定义域与值域都分别对应相同,也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. 针对训练 1.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.f(x)=,g(x)=x-1 B.f(x)=,g(x)= C.f(x)=·,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x+3 √ 解析:对于A,定义域不同,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,不是同一个函数;对于B,对应关系不同,f(x)=,g(x)=,不是同一个函数;对于C,定义域、对应关系都相同,是同一个函数;对于D,对应关系不同,f(x)=|x+3|,g(x)=x+3,不是同一个函数. 2.下列可以表示以M=为定义域,以N=为值域的函数图象是(　 ) √ 解析:根据题意,依次分析选项:对于A,其对应函数的值域不是N={y|0≤y≤1},A错误;对于B,图象中存在一部分与x轴垂直,该图象不是函数的图象,B错误;对于C,其对应函数的定义域为M={x|0≤x≤1},值域是N={y|0≤y≤1},C正确;对于D,图象不满足一个x对应唯一的y,该图象不是函数的图象,D错误.故选C. 题型(二)　求函数的定义域 题点1　求具体函数的定义域 [例3]　(1)若函数f(x)=,则f(x)的定义域为(　 ) A.[2,4] 　　　B.(-∞,2]∪[4,+∞) C.(2,4) 　　　D.(-∞,2)∪(4,+∞) 解析:要使函数f(x)=有意义,则x2-6x+8≥0,则(x-2)(x-4)≥0,解得x≤2或x≥4,所以函数f(x)=的定义域为(-∞,2]∪[4,+∞). √ (2)函数y=的定义域为(　 ) A.(-∞,3] B.[0,3] C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3] 解析:由题设可得解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2,故x∈[0,2)∪(2,3]. √ 题点2　求抽象函数的定义域 [例4]　(1)已知函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为________.  解析:令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1. 所以f(2x+1)的定义域为[-1,1]. [-1,1] (2)若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是________.  解析:由题意知,-2≤x≤4. 所以-5≤3x+1≤13. 所以y=f(x)的定义域是[-5,13]. [-5,13] |思|维|建|模| 抽象函数的定义域的类型及解题策略 (1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域. 针对训练 3.函数f(x)=的定义域为(　 ) A. B.{x|x>1} C. D. √ 解析:要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得即x≥且x≠1,故选C. 4.已知f的定义域为,则f(2x-1)的定义域为(　 ) A.　　　　 B. C. D. 解析:由f(x2-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3],所以x2∈[1,9],所以x2-1∈ [0,8],f(x)的定义域为[0,8],令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈,所以f(2x-1)的定义域为. √ 5.求函数y=+的定义域. 解:对于函数y=+,有 即解得-1≤x<1. 因此,函数y=+的定义域为[-1,1). 题型(三)　求函数值 [例5]　已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R). (1)求f(2),g(3); 解:由题意,得f(2)==-,g(3)=32-1=8. (2)求f(g(3)),f(g(x)); 解:由(1)得f(g(3))=f(8)==-. f(g(x))=f(x2-1)===-1(x≠0,x∈R). (3)求f(x),g(x)的值域. 解:因为f(x)===-1≠-1,所以f(x)的值域为{y|y∈R且y≠-1}; 因为g(x)=x2-1≥-1, 所以g(x)的值域为[-1,+∞). 　　|思|维|建|模|　求函数值的方法及关注点 方法 ①已知f(x)的解析式时,只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值;②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 关注点 用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义. 针对训练 6.若f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)= (　 ) A.p+q 　　　　B.3p+2q C.2p+2q 　　　　D.p2+q2 解析:因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(2×2)+f(3×3)= f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q. √ 7.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域; 解:因为f(x)=,则5x-6≠0,解得x≠,所以f(x)的定义域是. (2)求f(f(3))的值; 解:因为f(x)=,所以f(3)==, 所以f(f(3))=f==-. (3)当f(2a+3)=8时,求a的值. 解:因为f(2a+3)==8, 解得a=-. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)下列图形中是函数图象的是 √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B、C、D均符合函数定义. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.函数u=t2,t∈(-∞,+∞)与函数x=y2,y∈(-∞,+∞)是同一个函数 B.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个公共点 C.满足“值域相同,对应关系相同,但定义域不同”的函数组不存在 D.满足“定义域相同,值域相同,但对应关系不同”的函数有无数个　 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:对于A,函数的对应关系,定义域相同,故为同一个函数,A正确;对于B,根据函数的定义,对于定义域内任意的自变量x,都有唯一确定的y与之对应,故直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有一个公共点,B正确;对于C,如f(x)=x2,x∈[0,1],g(x)=x2,x∈[-1,0],两函数的值域均为[0,1],对应关系相同,但定义域不同,故C错误;对于D,例如对任意的一次函数y=kx+b,k≠0,定义域、值域均为R,但对应关系不同,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f(x)= 的定义域是(　 ) A.{x|x<2} B.{x|x>2} C.{x|x≤2} D.{x|x≥2} 解析:因为函数f(x)=,所以x-2>0,解得x>2,所以函数f(x)=的定义域是{x|x>2},故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,则f(x)的图象可以是 (　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A项中函数的定义域为[-2,0],C项中对任一x都有两个y值与之对应,D项中函数的值域不是[0,2],均不是函数f(x)的图象.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.下列各组函数是同一函数的是 (　 ) A.y=与y=1 B.y=与y=x C.y=与y=x D.y=与y=x-1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A中,函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数y=1的定义域为R,两函数的定义域不同,所以两函数不是同一函数;对于B中,函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数y=x的定义域为R,两函数的定义域不同,所以两函数不是同一函数;对于C中,函数y===x与y=x的定义域都是R,且对应关系相同,所以两函数是同一函数;对于D中,函数y==|x-1|与y=x-1,两函数的对应关系不同,所以两函数不是同一函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=,若f(t)=6,则t=______.  解析:由f(t)=6,得=6,解得t=-. - 7.试写出一个与函数y=x2定义域和值域都相同的函数,其函数可以为_______________________.  解析:函数y=x2与y=(x+1)2的定义域和值域都相同. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 y=(x+1)2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若函数f(x)的定义域为[-2,4],则y=的定义域为_____________.  解析:由题意得解得-1≤x≤2且x≠1. [-1,1)∪(1,2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)求下列函数的定义域: (1)y=(x-1)0+ ; 解:要使函数有意义,当且仅当解得x>-1且x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x≠1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)y=+. 解:要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1,即函数定义域为{x|x≤1且x≠-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=x+. (1)求f(x)的定义域; 解:要使函数f(x)有意义,必须使x≠0, ∴f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求f(-1),f(2)的值; 解:f(-1)=-1+=-2, f(2)=2+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)当a≠-1时,求f(a+1)的值. 解:当a≠-1时,a+1≠0, ∴f(a+1)=a+1+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知函数f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},则函数f(2x+1)的定义域为(　 ) A.(-1,9] B.[-3,1] C.[-2,1] D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵函数y=f(x-1)的定义域为{x|-2≤x≤3},∴-2≤x≤3,则-3≤x-1≤2,即函数f(x)的定义域为{x|-3≤x≤2}.∴对函数f(2x+1),有-3≤2x+1≤2,解得-2≤x≤.即函数f(2x+1)的定义域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.A=B=N+,对任意的x∈A,x→x-1,这个对应是A到B的函数 B.函数f(x)=的定义域为{x|-2<x≤1} C.y=和y=表示同一个函数 D.函数f(x)=x2+2x(x∈[-3,2])的值域是[3,8]　 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,当x=1时,x→x-1=0 ∉ B,故不符合函数定义,A错误;对于B,因为二次根式被开方数大于等于0,且分母不能为零,即x≠-2,且需≥0,即-2<x≤1,故f(x)的定义域为(-2,1],B正确;对于C,两个函数定义域和对应关系都相同,故是同一个函数,C正确;对于D,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, f(x)min=f(-1)=-1,f(x)max=f(2)=8,故值域为[-1,8],D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若函数y=的定义域为R,则a的取值范围为______.  解析:当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;当a≠0时,由题意知⇒0<a≤4. 综上,a的取值范围为[0,4]. [0,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)设x,y∈R,对双元函数f(x,y)定义为: ①f(x,x)=x;②f(kx,ky)=kf(x,y); ③f(x1+x2,y1+y2)=f(x1,y1)+f(x2,y2); ④f(x,y)=f,求f(1,3)的值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由f(x,x)=x,可得f(1,1)=1, f(4,4)=4. 当x=1且y=3时, f(1,3)=f=f(7,5), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又f(7,5)=f(4+3,4+1)=f(4,4)+f(3,1) =f(3,1)+4=f+4 =f(5,7)+4=f(4+1,4+3)+4 =+4 =+4=+f(1,3)+4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即f(7,5)=+f(1,3)=+f(7,5), 故f(7,5)=,解得f(7,5)=6, 故f(1,3)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),设g(x)=f(2x-1),求g(x)的定义域和值域; 解:因为1<2x-1≤2,所以1<x≤.又f(x)的值域为[-5,+∞), 因此函数g(x)的定义域为,值域为[-5,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知g(x)=f(2x-1)+1,且g(x)的定义域为(1,2],值域为[-5,+∞),求函数f(x)的定义域和值域. 解:因为1<x≤2,所以2<2x≤4, 所以1<2x-1≤3. 因为g(x)≥-5,所以g(x)-1≥-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为g(x)=f(2x-1)+1, 所以f(2x-1)=g(x)-1≥-6, 故f(x)≥-6. 因此函数f(x)的定义域为(1,3],值域为[-6,+∞). $$