3.1.1对函数概念的再认识课件-2023-2024学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.1.1对函数概念的再认识 ——重识“老朋友” 【问题情境】 右图是著名的比萨斜塔实验图，一个物体从斜塔上自由落下，所用时间t与高度h满足自由落体公式： 问题1：根据初中学习的函数概念，h是t的函数吗？你的判断依据是什么？ “变化过程”必须依托于具体的情境。 【问题情境】 问题2：你能回忆出初中阶段学习的函数概念吗？ 初中数学中的函数概念： 　　如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量. 变量在什么范围内变化？ “一个变化过程”应该如何理解？ “变化过程”必须依托于具体的情境。 【问题情境】 问题3：你能举出几个函数的例子吗？ 自由落体公式： 集合 集合 【探究活动】 思考1：初中函数定义中的“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应”如何用集合语言来描述？ 思考2：你能将初中函数的定义用集合语言来描述吗？ 初中数学中的函数概念： 　　如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量. 【概念形成】 　　 一般地，我们有： 　　 设A，B是两个 的实数集，如果按照某种确定的 f，对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作： y＝f(x) (x∈A， y∈B) x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域； 与x∈A对应的数y叫作函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫作函数的值域． 非空 对应关系 任何 唯一 思考：值域与集合B有什么关系？ 【概念深化】 判断下列从集合A到集合B的对应中，哪些是从A到B的函数. (1) A ={1，4，9}，B ={-3，-2，-1，1，2，3}，对应关系：开平方； (2) A ={-3，-2，-1，1，2，3}，B={1，4，9} ，对应关系：平方； (3) A = ，B= ，对应关系：求正弦； (4) A=R ，B=R，对应关系： . 抢答竞赛 × √ √ × 【概念深化】 ③f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ④汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 定义域不同 对应关系不同 定义域不同 相等函数 【例题精讲】 　　　　确定下列函数的定义域： 　（1） ； （2） 例 1 【例题精讲】 　　　　已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2，计算下列各式： 　(1) f(2)+g(3)； (2) f(a2)－g(a)；　 (3) f(f(f(0))). 例 2 变式：求值： ， 【尝试练习】 【尝试练习】 【数学文化】 1.早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽利略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系. 1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”. 2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.” 3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.” 1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元. 【课堂小结】 本节课你学到了什么？ 练习：下列各组函数是相等函数吗？ ①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1； ②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))； $$