2.2 从函数观点看一元二次方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

2.2 从函数观点看一元二次方程 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数. 2.了解函数的零点与方程根的关系.借助二次函数的图象,了解一元二次方程与相应函数的联系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的零点 逐点清(二)　一元二次方程根 与系数的关系　 逐点清(三)　二次方程根的分布问题 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数的零点 01 多维理解 1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根,二次函数y=ax2+bx+c的图象之间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异实根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=- 没有实根 续表 2.二次函数的零点 一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的________叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点. 实数x 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=x2-2x+1的零点是(1,0). (　 ) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根,则b2-4ac>0. (　 ) (3)一元二次方程x2+ax+a-1=0有实数根. (　 ) 微点练明 ×　 √　 √ 2.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为 (　 ) A.2 B.-2 C.±2 D.3 解析:因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2. √ 3.求下列函数的零点. (1)y=4x2-25; 解:令4x2-25=0,得4x2=25. 两边都除以4,得x2=,解得x1=,x2=-.所以函数y=4x2-25的零点为,-. (2)函数y=ax2-bx-c的图象如图所示; 解:因为函数的图象与x轴交点的横坐标为-1和3.所以该函数的零点为-1和3. (3)y=x2-4x+10. 解:令y=x2-4x+10=0. ∵a=1,b=-4,c=10,Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×10=8>0, ∴x===2±, ∴x1=2+,x2=2-. ∴函数的零点为2+,2-. 逐点清(二)　一元二次方程根 与系数的关系　 02 多维理解 　　若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-,x1x2=. 微点练明 1.若方程x2-2x-1=0的根为x1,x2,则x1x2-(x1+x2)的值为 (　 ) A.-3 B.1 C.2 D.-2 解析:∵x2-2x-1=0,即a=1,b=-2,c=-1,∴x1x2==-1,x1+x2=-=2,∴x1x2-(x1+x2)=-1-2=-3. √ 2.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为 (　 ) A.-3 B.1 C.-3或1 D.-1或3 √ 解析:根据题意得Δ=[-(2m-1)]2-4m2≥0,解得m≤,∵方程的两实数根为x1,x2,∴x1+x2=2m-1,x1x2=m2,∵(x1+1)(x2+1)=3,∴x1x2+(x1+x2)+1=3,即m2+2m-1+1=3,整理得m2+2m-3=0,解得m1=-3,m2=1,∵m≤,∴m=-3. 3.已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围; 解:∵关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+k-1=0有实数根,∴Δ≥0, 即[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1)=-8k+5≥0,解得k≤,即k的取值范围为. (2)若此方程的两实数根x1,x2满足+=11,求k的值. 解:由题知,x1+x2=2k-1,x1x2=k2+k-1, ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=(2k-1)2-2(k2+k-1)=2k2-6k+3. ∵+=11,∴2k2-6k+3=11, 即k2-3k-4=0,解得k=4或k=-1, ∵k≤,∴k=-1. 逐点清(三)　二次方程根的分布问题 03 [典例]　当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在(0,1)上,另一个根在(1,2)上. 解:①当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意. ②当a>0时,设y=ax2-2x+1, ∵方程的根分别在区间(0,1),(1,2)上, ∴解得<a<1. ③当a<0时,设方程的两根为x1,x2,则x1x2=<0,x1,x2一正一负不符合题意.综上,a的取值范围为. [变式拓展] 　若关于x的方程ax2-2x+1=0 至少有一个正根,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=0时,方程变为-2x+1=0, 解得x=,符合题意. (2)当a>0时,解得a≤1,故0<a≤1. (3)当a<0时,因为当x=0时,y=ax2-2x+1=1,故函数y=ax2-2x+1与x轴一定有两个交点,故方程ax2-2x+1=0必有一个正根. 综上,实数a的取值范围是(-∞,1]. |思|维|建|模| 解决二次方程根的分布问题应注意以下几点 (1)首先画出符合题意的草图,转化为函数问题. (2)结合草图考虑以下几个方面: ①开口方向; ②Δ与0的大小; ③对称轴与所给端点值的关系; ④端点的函数值与零的关系. 针对训练 　已知y=x2+(2a-1)x+a-2的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围. 解:函数的大致图象如图所示,则有当x=1时,y<0, 即1+(2a-1)+a-2<0, 解得a<. 故实数a的取值范围是. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.函数y=x2-8x+16的零点是 (　 ) A.(0,4) B.(4,0) C.4 D.8 解析:令x2-8x+16=0得x1=x2=4,所以函数y=x2-8x+16的零点是4,故选C. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.函数y=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为-3,则它的另一个零点是 (　 ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:设方程ax2+2ax+c(a≠0)=0的两根分别为x1,x2,由根与系数的关系得x1+x2=-=-2,所以方程的另一个根为1,故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.若函数y=x2-4x+2m没有零点,则m的取值范围为 (　 ) A.(-∞,4) B.(2,+∞) C.(6,+∞) D.(-∞,8) 解析:由题意知,Δ=16-8m<0,解得m>2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.(多选)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则 (　 ) 16 A.abc<0 B.b+2a=0 C.3a+c=0 D.c-a>0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,则a>0,对称轴为直线x= -=1,可得b=-2a<0,当x=0时,y=c<0,所以abc>0,A错误;b+2a=0,B正确;当x=-1时,y=a-b+c=3a+c=0,C正确;c-a=-4a<0,D错误.故选BC. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2] B.(-∞,-4] C.(-5,+∞) D.(-5,-4] 解析:若方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根x1,x2,由根与系数的关系可得,x1+x2=-(m+2)>0,x1·x2=m+5>0,解得-5<m<-2,又由Δ≥0得(m+2)2-4(m+5)≥0,解得m≤-4或m≥4,故-5<m≤-4,故选D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.若函数y=x2-ax+b的两个零点是2和3,则y=bx2-ax-1的零点是 (　 ) A.-1和 B.1和- C.和 D.-和- 解析:函数y=x2-ax+b的两个零点是2和3,由根与系数的关系得:a=2+3=5,b=2×3=6.y=bx2-ax-1=6x2-5x-1=(6x+1)(x-1)=0,得x=-和1.故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.函数y=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别有一个零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-3,-1) B. C. D.(-∞,-3)∪ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:利用排除法:当a=1时,y=x2-2x+1=(x-1)2,此时函数只有一个零点1,不合题意,排除D选项,当a=-2时,y=-2x2-2x+1,此时函数有两个零点,不合题意,排除A、C选项,故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是 (　 ) A.当m=0时,x1=2,x2=3 B.m>- C.当m>0时,2<x1<x2<3 D.二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的零点为2和3 √ 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,易知当m=0时,(x-2)·(x-3)=0的根为2,3,故A正确;对于B,设y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6=-≥-,因为y=(x-2)·(x-3)的图象与直线y=m有两个交点,所以m>-,故B正确;对于C,当m>0时,y=(x-2)(x-3)-m的图象由y=(x-2)(x-3)的图象向下平移m个单位长度得到,x1<2<3<x2,故C错误;对于D,由(x-2)(x-3)=m展开得,x2-5x+6-m=0,利用根与系数的关系求出x1+x2=5,x1x2=6-m,代入y=(x-x1)(x-x2)+m,可得y=(x-x1)(x-x2)+m=(x-2)(x-3)-m+m=(x-2)(x-3),所以二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的零点为2和3,故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 (　 ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而点C(2,y3)离直线x=-1的距离最远,点A(-2,y1)离直线x=-1最近,∴y1<y2<y3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知实数m,n满足m+n=4,m3+n3=52,则以m,n为两根的一个一元二次方程可以是　　　　　　　　　　　.  解析:由m3+n3=52,得(m+n)(m2-mn+n2)=52,由m+n=4,得m2-mn+n2=13,利用配方法,可得(m+n)2-3mn=13,由m+n=4,解得mn=1,故答案为x2-4x+1=0(答案不唯一). 16 x2-4x+1=0(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.若函数y=2x2-3x-7的两个零点为a,b,则a2+b2=　　　.  解析:因为函数y=2x2-3x-7,所以根据根与系数的关系可知,两个零点a,b满足a+b=,ab=-,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=-2×=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-2,-1),且图象经过点(1,0),则函数的解析式为　　　　　　　　.  16 解析:依题意得解得 因此所求解析式为y=x2+x-. y=x2+x- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.当a-1≤x≤a时,二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则a的值为　　　　.  解析:当y=8时,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值8,∴a-1=5或a=-1,∴a=6或a=-1. 16 -1或6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.一条抛物线具有以下三个性质:①图象开口向下;②与x轴没有交点;③对称轴在y轴右侧.请写出同时满足以上三个性质的一个二次函数表达式为　　　　　　　　　　　　.  16 y=-x2+2x-5(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知关于x的方程x2-2x+a=0. (1)当a为何值时,方程的一个根大于1,另一个根小于1? 解:(1)二次函数y=x2-2x+a的图象是开口向上的抛物线,故方程x2-2x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则12-2+a<0,解得a<1,所以a的取值范围是(-∞,1). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当a为何值时,方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3? 解:方程x2-2x+a=0的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3, 作满足题意的二次函数y=x2-2x+a的大致图象,由图知, 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解得-3<a<0.所以a的取值范围是(-3,0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)当a为何值时,方程的两个根都大于0? 解:方程x2-2x+a=0的两个根都大于0,则 解得0<a≤1,所以a的取值范围是(0,1]. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴相交于点C. 16 (1)求抛物线的函数表达式; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由题意得解得 故抛物线的表达式为y=x2+2x-3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由. 解:存在.对于y=x2+2x-3,令x=0,则y=-3,即点C(0,-3),抛物线的对称轴为直线x=-1, 设点P(-1,m),由勾股定理得AC2=32+32=18,AP2=22+m2,PC2=1+(m+3)2, 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当AC是斜边时,则18=AP2+PC2=22+m2+1+(m+3)2,解得m=; 当AP是斜边时,则18+1+(m+3)2=22+m2,解得m=-4; 当PC是斜边时,则18+22+m2=1+(m+3)2,解得m=2.即点P的坐标为或或(-1,-4)或(-1,2). 16 $$