2.1.3 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

2.1.3 基本不等式的应用 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用基本不等式解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用基本不等式求最值 题型(二)　利用基本不等式 解决实际问题 题型(三)　基本不等式的综合运用 4 课时跟踪检测 题型(一)　利用基本不等式求最值 01 　　已知x,y都为正数,则 积定和最小 如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值2 和定积最大 如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值 [例1]　(配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值. 解:因为x>3,所以2x-6>0,所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10,当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立.所以y=2x+的最小值是10. [例2]　(拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值. 解:由x>1,知x-1>0.所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4, 当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立. 所以当x=2时,y取得最小值4. [例3]　(常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值. 解:因为x>0,y>0,+=1, 所以x+2y=(x+2y)=8+++2=10++≥10+2=18,当且仅当=,即x=12,y=3时,等号成立,所以x+2y的最小值为18. [变式拓展] 若把例3的条件“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值. 解:因为x>0,y>0,所以+=(x+2y)·=8+++2=10++ ≥10+2=18,当且仅当=,x+2y=1,即x=,y=时,等号成立,所以+的最小值为18. |思|维|建|模| 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 　　根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个:一是消元的思想,转化为只有一个变量的代数式,再通过变形转化为基本不等式的形式求解;二是直接利用条件式或进行恰当地转化,然后利用基本不等式求最值,在此过程中需注意: (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”,创造应用基本不等式及使等号成立的条件. (2)当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号时的条件是否一致,否则也不能求出最值. (3)特别注意“1”的代换. 针对训练 1.(1)已知x>0,求4x+的最小值; 解:因为x>0,故4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立.故4x+的最小值为4. (2)已知x>0,求2-3x-的最大值; 解:因为x>0,故2-3x-=2-≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,故2-3x-的最大值为2-4. (3)已知x<,求 4x-2+的最大值. 解:因为x<,所以5-4x>0.所以4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立. 故当x=1时,4x-2+的最大值为1. 题型(二)　利用基本不等式 解决实际问题 02 [例4]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园,当这个矩形的边长为多少时,所用围栏最省,并求所需围栏的长度. 解:设矩形围栏相邻两条边长分别为x m,y m,围栏的长度为2(x+y) m. 法一　由已知xy=16,由≥,可知x+y≥2=8,所以2(x+y)≥16,当且仅当x=y=4时,等号成立,因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m. 法二　由已知xy=16,得y=.所以2(x+y)=2≥2×2=16.当且仅当x=y=4时,等号成立,因此,当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时,所用围栏最省,所需围栏的长度为16 m. 　　[变式拓展] 　如果小明的爸爸只有12 m长的围栏,如何设计,才能使游乐园的面积最大? 解:由已知得2(x+y)=12,故x+y=6,面积为xy,由≤==3,或=≤=3,可得xy≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立.因此,当游乐园是边长为3 m的正方形时,面积最大,最大面积为9 m2. 　　[针对训练] 2.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=. 解:设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为=. ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+=560+48. 当x+取最小值时,y有最小值. ∵x≥10,∴x+≥2=30. 当且仅当x=,即x=15时,上式等号成立. ∴当x=15时,y有最小值2 000元. 因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 题型(三)　基本不等式的综合运用 03 [例5]　(1)已知x>0,y>0,且x+2y=xy,若不等式x+2y≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.[-2,4] B.(-2,4) C.(-∞,-2]∪[4,+∞) D.(-∞,-2)∪(4,+∞) √ 解析:x+2y=xy可化为+=1,则x+2y=(x+2y)·=4++ ≥4+2=8,当且仅当x=2y=4时等号成立,即x+2y的最小值 为8,因为x+2y≥m2-2m恒成立,所以m2-2m≤8,解得-2≤m≤4, 则实数m的取值范围是[-2,4]. (2)已知函数y=4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　.  解析:∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4.当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值,又∵x=3,∴a=4×32=36. 36 |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化. 针对训练 3.已知正实数a,b满足+=m,若的最小值为4,则实数m的取值范围是(　 ) A.{2} B.{m|m≥2} C.{m|0<m≤2} D.{m|m>0} √ 解析:因为a,b为正实数,=ab++2≥2+2=4,当且仅当ab=,即ab=1时等号成立,此时有b=,又因为+=m, 所以a+=m,由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2. 4.已知a>0,b>0,+=1,写出满足“m<a+2b”恒成立的正实数m的一个范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　(用区间表示).  解析:由题意可知a+2b=(a+2b)=++≥+2=,当且仅当b=a=时取得等号,所以a+2b≥恒成立,故正实数m的一个范围可以为(0,4)(答案不唯一,是的子集即可). (0,4)(答案不唯一,是的子集即可) 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ A级——达标评价 1.已知a>0,则a+的最小值为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.下列各式中最小值为2的是 (　 ) A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:对于A,y=t+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于B,y=+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于C,y=t+=t-1++1≥3;对于D,y=t++1≥3. 3.函数y=3x2+的最小值是(　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 解析:y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为(　 ) A.4 B.2 C.8 D.16 解析:由a+b=+=,得ab=1,则+≥2=2,当且仅当=时,等号成立. 5.矩形两边长分别为a,b,且a+2b=6,则矩形面积的最大值是 (　 ) A.4 B. C. D.2 解析:依题意可得a,b>0,则6=a+2b≥2=2·,当且仅当a=2b时取等号.所以ab≤=,即矩形面积的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为　　,此时x=　　　.  解析:因为0<x<1,所以1-x>0,所以x(1-x)≤==,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.某公司一年需要购买某种原材料400吨,计划每次购买x吨,已知每次的运费为4万元/次,一年总的库存费用为4x万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量x为　　.  解析:由题意, 总的费用y=×4+4x=4≥160(x>0), 当且仅当=x时,即x=20时取等号, 所以每次购买的数量为20吨. 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为　　.  解析:(1+x)(1+2y)≤==9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时,等号成立. 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)设a,b为正实数,且+=2. (1)求a2+b2的最小值; 解:∵a,b为正实数,且+=2≥2,当且仅当a=b时,等号成立,即ab≥,当且仅当a=b时,等号成立.∵a2+b2≥2ab≥2×=1,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2的最小值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 解:∵+=2,∴a+b=2ab. ∵(a-b)2≥4(ab)3,∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3, 即(2ab)2-4ab≥4(ab)3, 即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0. ∵a,b为正实数,∴ab=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长为5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式; 解:T===++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大? 解:经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=,当且仅当=,即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为(　 ) A. B.1 C.2 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时,a=b=2,此时三角形的面积为×2×2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为　　.  - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)=+≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,因此有--≤-,即--的上确界为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)某体育场需更新所有座椅,并要求座椅的使用年限为15年,已知每千套座椅建造成本是8万元,设每年的管理费用为y万元与总座椅数x千套,两者满足关系式:y=(0≤x≤8).15年的总维修费用为80万元,记w为15年的总费用.(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用).请问当设置多少套座椅时,15年的总费用w最小,并求出最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由题意得建造成本费用为8x(0≤x≤8), 使用管理费为(0≤x≤8), 所以w=8x++80(0≤x≤8), w=8x++80=4(2x+5)++60≥180, 当且仅当4(2x+5)=时,即x=5千套时,w取得最小值为180万元. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知正实数x,y满足x+y=4. (1)是否存在正实数x,y,使得xy=5?若存在,求出x,y的值;若不存在,请说明理由. 解:不存在.因为正实数x,y满足x+y=4, 所以4=x+y≥2,所以xy≤4. 故不存在正实数x,y,使得xy=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求证:+≥,并说明等号成立的条件. 解:证明:由x+y=4,得x+1+y+2=7. 又因为x,y都是正实数, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以+=[(x+1)+(y+2)]·=≥ =,当且仅当=时,等号成立,又因为x+y=4,所以当且仅当x=,y=时,等号成立. $$