2.1.2 基本不等式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

2.1.2 基本不等式 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.定理 对任意a,b∈R,______________,当且仅当_______时等号成立. 2.推论 对任意正数a,b,______________,当且仅当______时等号成立. 一般地,对于正数a,b,我们把称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.上述推论中的不等式称为基本不等式.基本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数. a2+b2≥2ab a=b a=b 不小于 |微|点|助|解| (1)基本不等式≥中,要求a,b都是正实数,否则,若a<0,b<0,如a= -2,b=-4,则会出现≥的错误结论.若a,b中有一个小于0,如a=2,b=-4,则无意义. (2)基本不等式成立的条件是a>0,b>0,而重要不等式中的a,b是实数.事实上,当a>0,b>0时,我们分别用,代替重要不等式中的a,b,即得a+b≥2,变形可得≥. (3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的正数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应为正数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a≥0,b≥0且a≠b,则a+b>2. (　 ) (2)6和8的几何平均数为2. (　 ) (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 ) (4)若a≠0,则a+≥2 =2. (　 ) √　 ×　 ×　 × 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立. √ 3.设a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a-b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a+b 解析:∵a>b>0,由基本不等式知<一定成立. √ 4.(多选)当a,b∈R时,下列不等关系不成立的是 (　 ) A.≥ B.a-b≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab 解析:根据≥ab,≥成立的条件判断,知A、B、D错误,只有C正确. √ √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对基本不等式的理解 [例1]　给出下面3个推导过程: ①∵a,b为正实数,∴+≥2=2; ②∵a∈R,a≠0,∴+a≥2=4; ③∵x,y∈R,xy<0,∴+=-≤-2=-2. 其中正确的推导为(　 ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:①∵a,b为正实数,∴,为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确.②∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴+a≥2=4是错误的.③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确. √ |思|维|建|模| 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a,b都是正数. (2)“当且仅当”的含义:当a=b时,≤的等号成立,即a=b⇒=;仅当a=b时,≥的等号成立,即=⇒a=b. 针对训练 1.下列不等式等号可以取到的是 (　 ) A.+≥2 B.x2+2+≥2 C.x2+≥2 D.|x|+3+≥2 √ 解析:对于A,因为>0,所以+≥2 =2,当且仅当=,即x2=-4,故等号不成立,故A不符合;对于B,因为x2+2>0,所以x2+2+ ≥2 =2,当且仅当x2+2=,即x2=-1,故等号不成立,故B不符合;对于C,因为x2>0,所以x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±1时取等号,故C符合;对于D,因为|x|+3>0,所以|x|+3+≥2=2,当且仅当|x|+3=,即|x|=-2,故等号不成立,故D不符合. [例2]　(1)设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 题型(二)　利用基本不等式比较大小 √ 解析:法一　∵0<a<b,∴a<<b,排除A、C两项. 又-a=(-) >0,即>a,排除D项,故选B. 法二　取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<<b. 故选B. (2)已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是 　　.  解析:因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2, m>n 所以m≥2+2=4, 当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立. 由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<4, 综上可知m>n. |思|维|建|模| 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0. 针对训练 2.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 √ 解析:∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>>0,∴>,∴a2+b2>.∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大. 3.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是 ____________________. 解析:∵a,b,c互不相等, ∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac. ∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac. a2+b2+c2>ab+bc+ac 题型(三)　利用基本不等式证明不等式 [例3]　已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1. 求证:++>9. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴++=++=3+++++ +=3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9.∴++>9. [变式拓展] 　本例条件不变,求证: >8. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴-1=>0,-1=>0,-1=>0,∴=··>=8. ∴>8. 　　|思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 针对训练 4.已知x>0,y>0,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 证明:∵x,y都是正数, ∴x+y≥2>0,x2+y2≥2>0,x3+y3≥2>0. ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3, 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3, 当且仅当x=y时,等号成立. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 解析:根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 (　 ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 解析:∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立), ∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.下列不等式中正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:若a<0,则a+≥4不成立,故A错误;若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)设a,b∈R,且a≠b, a+b=2,则必有 (　 ) A.ab>1 B.ab<1 C.<1 D.>1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由基本不等式可得ab≤, a≠b,所以ab<1, 又1==<=(a2+b2),所以(a2+b2)>1,所以 ab<1<(a2+b2) ,所以A不符合题意,B正确,C不符合题意,D正确,故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设M=,N=n3++6,对于任意的n>0,M,N的大小关系为(　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6, ∵n>0,∴n+≥2=2,当且仅当n=1时,等号成立,∴3-6≥0,∴M≥N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.下列不等式:①a2+1>2a;②≥2;③≤2;④x2+≥1.其中正确的个数是　　.  解析:由基本不等式可知②④正确. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　.  解析:当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去). x=5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知a>b>c,则与的大小关系是　　　　　　　　　　　.  解析:因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以=≥,当且仅当a-b=b-c时,等号成立. ≤ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)已知a,b,c都是非负实数,试比较++与(a+b+c)的大小. 解:由≤,得≥(a+b). 同理得≥(b+c),≥(a+c). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]= (a+b+c).故++≥(a+b+c),当且仅当a=b=c时,等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥. ∴++≥++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.两个工厂生产同一种产品,其产量分别为a,b(0<a<b).为便于调控生产,分别将=1,=,=中x(x>0)的值记为A,G,H并进行分析.则A,G,H的大小关系为(　 ) A.H<G<A B.G<H<A C.A<G<H D.A<H<G √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由=1得x-a=b-x,解得x=,即A=;由=得x2-ax=ab-ax,解得x=,即G=;由=得bx-ab=ab-ax,解得x=,即H=≤=.又≥,∴≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.∴H<G<A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.由做差比较法,-=≥0,可知≤,故B一定成立.因为a+b≥2>0, 所以≤=,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知a,b,c为正数,求证:++≥3. 证明:左边=+-1++-1++-1=++-3.∵a,b,c为正数,∴+≥2,当且仅当a=b时,等号成立; +≥2,当且仅当a=c时,等号成立; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 +≥2,当且仅当b=c时,等号成立. 从而++≥6,当且仅当a=b=c时,等号成立. ∴++-3≥3, 即++≥3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)基本不等式≥(a>0,b>0)可以推广成基本不等式链,在不等式证明和求最值中有广泛的应用,具体为 ≥≥≥(a>0,b>0). (1)证明不等式≥; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明:由题意可知,a>0,b>0,则>0,>0. ∴·=+++≥1+2=2,当且仅当a=b时,等号成立.∴≥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)上面给出的基本不等式链是二元形式,其中≥(a>0,b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数,类比这个不等式给出对应的三元形式,即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数,并尝试用分析法证明猜想. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明:要证 ≥(a1>0,a2>0,a3>0),只要证≥. 即证3+3+3≥(a1+a2+a3)2. ∵(a1+a2+a3)2=+++2a1a2+2a2a3+2a1a3,又2a1a2≤+,2a2a3≤+,2a1a3≤+,当且仅当a1=a2=a3时,等号成立, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴+++2a1a2+2a2a3+2a1a3≤+++2(++)=3(++),即3+3+3≥(a1+a2+a3)2, 当且仅当a1=a2=a3时,等号成立. ∴ ≥(a1>0,a2>0,a3>0). 即可得证. $$