2.1.1 第1课时 不等关系与不等式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.1 等式与不等式 不等关系与不等式 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 在具体问题中建立不等关系,要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等概念,重点掌握作差、作商、 综合法等比较实数大小.比较大小在实际生活中的应用是学习的难点. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　用不等式(组)表示不等关系 逐点清(二)　实数(式)的比较大小 逐点清(三)　不等关系在实际 问题中的应用　 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　用不等式(组) 表示不等关系 01 多维理解 1. 不等关系与不等式 不等关系 不等关系常用不等式来表示 不等式 用不等号(>,<,≥,≤,≠)表示不等关系的式子叫做不等式 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于、高于、 超过 小于、低于、 少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号 语言 ___ ____ _____ ____ >  <  ≥ ≤ |微|点|助|解| (1)不等关系强调的是关系,可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子,如“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”. (2)利用不等式表示不等关系的注意点 ①利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示. ②在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一. 1.某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购,也可以自己生产.其中外购的单价是每个1.2元,若自己生产,则每月需投资固定成本2 000元,并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元.设该医院每月所需口罩n(n∈N+)个,则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是 (　 ) A.n>800 B.n>5 000 C.n<800 D.n<5 000 解析:由0.8n+2 000<1.2n,得0.4n>2 000,即n>5 000. 微点练明 √ 2.据天气预报可知明天白天的最高温度为13 ℃,则明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是 (　 ) A.t≤13 ℃ B.t<13 ℃ C.t=13 ℃ D.t>13 ℃ 解析:∵明天白天的最高温度为13 ℃,∴明天白天的气温t与13 ℃之间存在的不等关系是t≤13 ℃. √ 3.某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为　　　　　　　　　　　　　.  解析:每种邮票至少买两套,则有x≥2,x∈N+,y≥2,y∈N+,又因为50元钱买纪念邮票,所以0.8×5x+2×4y≤50,故 逐点清(二)　实数(式)的比较大小 02 两个实数a,b比较大小的基本事实 依据 a>b⇔________;a=b⇔_______;a<b⇔________ 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的____与___的大小 a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 0 [例1]　已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x-1≤0.而3x2+1>0, ∴(3x2+1)(x-1)≤0, ∴3x3≤3x2-x+1. [变式拓展] 　把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵3x2+1>0, 当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1; 当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1; 当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1. |思|维|建|模| 用作差法比较两个数(式)大小的步骤作差法是比较两个数(式)大小的基本方法,一般步骤:①作差;②变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;③定号,即确定差的符号;④下结论,写出两个数(式)的大小关系. 针对训练 1.比较下列各组中两数的大小: (1)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2; 解:(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)·(a2-b2)=(a-b)2 (a+b). ∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0.∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2. (2)已知x,y均为正数,设m=+,n=,比较m与n的大小. 解:∵m-n=+-=-==.又x,y均为正数,∴x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0.∴m-n≥0,即m≥n(当且仅当x=y时,等号成立). 逐点清(三)　不等关系在实际 问题中的应用　 03 [例2]　(多选)甲、乙两名同学同时从教室步行到学校食堂就餐(路程相等),甲前一半时间步行速度是v1,后一半时间步行速度是v2;乙前一半路程步行速度是v1,后一半路程步行速度是v2,则 (　 ) A.如果v1=v2,则两人同时到食堂 B.如果v1>v2,则甲先到食堂 C.如果v1<v2,则甲先到食堂 D.如果v1<v2,则乙先到食堂 √ √ √ 解析:设路程为S,甲用的时间为t1,乙用的时间为t2,则S=v1×+v2×=t1,t1=S·,t2=+=S·=S·.因为-==≤0,所以t1≤t2,当且仅当v1=v2时等号成立.所以A、B、C正确,D错误. |思|维|建|模| 不等关系在实际问题中应用的解题策略先建立不等关系式是确定制约优化的关键量,然后作差法比较大小. 针对训练 2.某营救小组有48人,需要乘船过河去执行营救任务,现从甲、乙两种型号的船中选择一种.甲型号的船比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的,每艘船载4人,则船不够;每艘船载5人,则有船没有载满.若只选择乙型号的,每艘船载3人,则船不够;每艘船载4人,则有多余的船.甲型号的船有 (　 ) A.9艘 B.10艘 C.11艘 D.12艘 √ 解析:设甲船有x艘,则乙船有(x+5)艘, 由题意可得 解得9.6<x<11, 又因为x为正整数,所以x=10. 即甲型号的船有10艘. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为 (　 ) A.v≤120(km/h),或d≥10(m) B.v≤120(km/h),d≥10(m) C.v≤120(km/h) D.d≥10(m) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:最大限速为120 km/h,即v≤120(km/h),车间距不得小于10 m,即d≥10(m),故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.若x∈R,y∈R,则 (　 ) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 解析:因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析:因为M-N=2a(a-2)-(a+1)·(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0恒成立,所以M>N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是 (　 ) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 解析:依题意,请工人满足的关系式是50x+40y≤2 000,即5x+4y≤200. 5.设p=(a2+a+1)-1,q=a2-a+1,则 (　 ) A.p>q B.p<q C.p≥q D.p≤q 解析:p=(a2+a+1)-1==>0,q=a2-a+1=+>0,则==(a2-a+1)(a2+a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1.故p≤q,当且仅当a=0时,等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.若x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系是(　 ) A.M=N B.M<N C.M≤N D.M>N 解析:∵x>0,y>0,∴1+x+y>1+x>0,1+x+y>1+y>0,∴<,<,故M==+<+=N,即M<N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.一辆汽车原来每天行驶x km,如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为　　　　　　　　;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间,用不等式表示为　　　　　.  8(x+19)>2 200 8x>9(x-12) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:①原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19)km.则不等关系:在8天内的行程超过2 200 km,写成不等式为8(x+19)>2 200. ②若每天行驶(x-12)km,则不等关系:原来行驶8天的路程现在花9天多时间,写成不等式为8x>9(x-12). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为　　　　　　.  解析:x2+2-3x=(x-1)(x-2).当x<1时,x-1<0,x-2<0,所以(x-1)·(x-2)>0,即x2+2-3x>0,所以x2+2>3x. x2+2>3x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.某校在冬季长跑活动中,要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元,已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于,且获得一等奖的人数不能小于2.设获得一等奖的学生有x人,获得二等奖的学生有y人,则x,y满足的不等关系 为　　　　　　　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意得化简得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.请根据矩形图表信息,补齐不等式:+≥ 　　　　　　　　　.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由勾股定理知, AB==, AC=,BC=, 如题图中的△ABC,根据三角形的两边之和大于第三边,知AB≤AC+BC,当且仅当A,B,C三点共线时,等号成立,所以+≥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.某车工计划在15天里加工零件408个,最初三天中,每天加工24个,则以后平均每天至少需加工多少个,才能在规定的时间内超额完成任务?设以后平均每天至少需要加工x个,求解此问题需要构建的不等关系式为　　　　　　.  解析:因为该车工3天后的12天里,平均每天需加工x个零件,共加工12x个零件,15天里共加工(3×24+12x)个零件,则72+12x>408. 72+12x>408 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)某单位计划组织员工参观花博会需租车前往.甲租车公司:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙租车公司:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的,试根据该单位参观的人数,选择一下租车公司. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:设该单位员工有n人(n∈N+),全票价为x(x>0)元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.因为y1-y2=x+xn-xn=x-nx=x,且已知x>0,所以当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此,当单位去参观的人数为5人时,两家租车公司收费相同;多于5人时,选甲租车公司更优惠;少于5人时,选乙租车公司更优惠. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知x∈R且x≠-1,比较与1-x的大小. 解:∵-(1-x)==,当x=0时,=0,∴=1-x;当1+x<0,即x<-1时,<0,∴<1-x;当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,>0,∴>1-x.综上,当x<-1时,<1-x;当x=0时,=1-x;当-1<x<0或x>0时,>1-x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知实数0<x1<1,0<x2<1,求证:不等式x1+>x2+成立的充分条件是x1<x2. 证明:由题意,知当x1<x2时,x1-x2<0,0<x1x2<1,则-=(x1-x2) +=(x1-x2)+=>0.于是得x1+>x2+,所以不等式x1+>x2+ 成立的充分条件是x1<x2. $$