1.2.3 全称量词和存在量词（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

1.2.3 全称量词和存在量词 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义. 2.全称量词命题和存在量词命题的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 3.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　含有量词的命题 逐点清(二)　全称量词命题与存在 量词命题的真假判断 逐点清(三)　含量词命题的否定 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　含有量词的命题 01 多维理解 1.全称量词和存在量词 命题中的“________”和“_______”叫作量词,两者分别叫作全称量词和存在量词. 2.全称量词命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词,数学上用符号_______表示.语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.用符号简单地表示为_____________. 每一个 有一个 “∀” ∀x∈M,p(x) 3.存在量词命题 “存在某个”“至少有一个”等存在量词,数学上用符号“∃”表示.语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”也是命题,叫作存在量词命题.用符号简单地表示为____________. ∃x∈M,p(x) |微|点|助|解| (1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. (2)要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证r(x)成立;要判定其是假命题,只需举出一个反例即可. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M,s(x)”是真命题,只需要在限定集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可;要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明s(x)都不成立. 1.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 解析: “∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. 微点练明 √ 2.下列命题中,含有存在量词的是 (　 ) A.存在一个平行四边形是矩形 B.所有正方形都是平行四边形 C.一切三角形的内角和都等于180° D.任意两个等边三角形都相似 解析:A选项,存在一个平行四边形是矩形含有存在量词;B、C、D选项,含有全称量词,不含有存在量词. √ 3.“关于x的不等式ax+b>0有解”等价于 (　 ) A.∃x∈R,使得ax+b>0成立 B.∃x∈R,使得ax+b≤0 成立 C.∀x∈R,ax+b>0成立 D.∀x∈R,ax+b≤0成立 解析: “关于x的不等式ax+b>0有解”等价于“∃x∈R,使得ax+b>0成立”. √ 4.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　 ) A.负数的绝对值大于0 B.所有的菱形都是平行四边形 C.负数的平方是正数 D.∃x∈R,x2-1>0 √ √ √ 解析:对于A,负数的绝对值大于0即所有负数的绝对值大于0,根据全称量词命题的定义知,该命题是全称量词命题;对于B,所有的菱形都是平行四边形,根据全称量词命题的定义知,该命题是全称量词命题;对于C,负数的平方是正数即所有负数的平方是正数,根据全称量词命题的定义知,该命题是全称量词命题;对于D,∃x∈R,x2-1>0,根据存在量词命题的定义知,该命题是存在量词命题. 逐点清(二)　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 02 [典例]　判断下列命题的真假. (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示. 解:是假命题,如边长为1的正方形,对角线长度为,就不能用正有理数表示. (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形. 解:是真命题,如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形. (3)存在一个实数x,使得方程x2+x+8=0成立. 解:是假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数根. (4)∃x∈R,x2-3x+2=0. 解:是真命题,x=2或x=1都能使x2-3x+2=0成立. (5)∀x,y∈Z,(x-y)2=x2-2xy+y2. 解:是真命题,因为完全平方公式对任意实数都成立,显然对整数成立. 　　|思|维|建|模| 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 针对训练 1.(多选)下列命题,是存在量词命题且为真命题的是 (　 ) A.中国所有的江河都流入太平洋 B.有的四边形既是矩形,又是菱形 C.存在x∈R,有x2+x+1=0 D.有的数比它的倒数小 √ √ 解析:对选项A,“中国所有的江河都流入太平洋”是全称量词命题,排除;对选项B,“有的四边形既是矩形,又是菱形”是存在量词命题且为真命题,比如正方形,正确;对选项C,“存在x∈R,有x2+x+1=0”是存在量词命题且为假命题,因为x2+x+1=+>0恒成立,排除;对选项D,“有的数比它的倒数小”是存在量词命题且为真命题,比如,正确. 2.(多选)下列命题为真命题的是 (　 ) A.任意两个等边三角形都相似 B.所有的素数都是奇数 C.∀x∈R,x+|x|≥0 D.∃x∈R,x2-x+1=0 √ √ 解析:对于A,因为所有的等边三角形的每个内角都为60°,因此任意两个等边三角形都相似,A正确;对于B,2是素数,而2是偶数,即“所有的素数都是奇数”是假命题,B错误;对于C,因为∀x∈R,|x|≥-x,即x+|x|≥0,C正确;对于D,因为∀x∈R,x2-x+1=+≥>0,D错误. 逐点清(三)　含量词命题的否定 03 ∀x∈I, p(x) ∃x∈I, p(x) 多维理解 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈I,p(x) ∃x∈I,p(x) 否定形式 ________________________________ _________________________________ 结论 全称量词命题的否定是______________; 存在量词命题的否定是_____________ 存在量词命题 全称量词命题 |微|点|助|解| 否定一个含有量词的命题的三点注意 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题,是正确写出命题否定的关键; (2)注意命题的否定与否命题的区别; (3)当命题否定的真假不易判断时,可以转化为去判断原命题的真假,当原命题为真时,命题的否定为假,当原命题为假时,命题的否定为真. 微点练明 1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 (　 ) A.∀x∈R,|x|+x2<0 　B.∀x∈R,|x|+x2≤0 C.∃x∈R,|x|+x2<0 　D.∃x∈R,|x|+x2≥0 解析:此全称量词命题的否定为∃x∈R,|x|+x2<0. √ √ 2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想:“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”,则哥德巴赫猜想的否定为 (　 ) A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 解析:根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”. √ 3.命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是 (　 ) A.∀x>0,2x2≠5x-1 B.∀x≤0,2x2=5x-1 C.∃x>0,2x2≠5x-1 D.∃x≤0,2x2=5x-1 解析:存在量词命题的否定是全称量词命题. 4.命题“有的四边形不是正方形”的否定是 (　 ) A.有的四边形是正方形 B.所有四边形都是正方形 C.不是四边形的图形是正方形 D.不是四边形的图形不是正方形 √ 解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,可知,命题“有的四边形不是正方形”的否定是“所有四边形都是正方形”. 逐点清(四)　全称量词命题与 存在量词命题的应用 04 [典例]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围. 解:命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题.因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}. 　　[变式拓展] 　若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围. 解:由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,所以a<1.故a的取值范围是{a|a<1}. |思|维|建|模| 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. 已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且 p是假命题,求实数a的取值范围. 解:因为 p是假命题,所以p是真命题.又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5},则解得-3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. 微点练明 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.下列命题是存在量词命题的是 (　 ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比0小 C.每一个正方形都是矩形 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析:D选项是存在量词命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.(多选)下列全称量词命题是真命题的为 (　 ) A.对于任意实数x,都有x+2>x B.对任意的实数a,b,都有若|a|>|b|,则a2>b2成立 C.二次函数y=x2-ax-1与x轴恒有交点 D.∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0　 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.(多选)下列命题是假命题的是 (　 ) A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5x+1=0 C.任意x∈R,x2-1=0 D.任意x∈R,x2+x+2>0 解析:选项A中,<x<且x∈Z,不成立;选项B中,x=-,与x∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.(多选)下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的有 (　 ) A.至少有一个实数x,使x3+1=0 B.有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b| C.∃x∈R,使x2-x+≤0 D.∃x∈R,使x2+2x+2=0 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A.”至少”是存在量词,对于方程x3+1=0,存在x=-1,故正确;B.“有些”是存在量词,且是真命题;C. “∃”是存在量词,又当x=时,x2-x+≤0成立,故正确;D.x2+2x+2=(x+1)2+1≠0,故错误;故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则 (　 ) A. p:∀x∈A,2x∈B 　B. p:∀x ∉ A,2x ∉ B C. p:∃x ∉ A,2x∈B 　D. p:∃x∈A,2x ∉ B 解析:命题p:∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题,命题p的否定应为:∃x∈A,2x ∉ B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 (　 ) A. p:∃x∈R,x2+1=0 B. p:∀x∈R,x2+1=0 C. p是真命题, p是假命题 D. p是假命题, p是真命题 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x∈R,x2+1=0”.所以p是真命题, p是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)对下列命题的否定说法正确的是 (　 ) A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;p的否定:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∀n∈N,2n≤100;p的否定:∃n∈N,2n>100 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: “有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.命题“∃x0∈R,x2+2x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:因为命题“∃x0∈R,x2+2x+a=0”是真命题,所以Δ=4-4a≥0,解得a≤1.因此,实数a的取值范围是a≤1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.已知命题“∃x∈R,使4x2+(a-2)x+=0”是假命题,则实数a的取值范围是(　 ) A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵命题“∃x∈R,使4x2+(a-2)x+=0”是假命题,∴命题“∀x∈R,使4x2+(a-2)x+≠0”是真命题,即判别式Δ=(a-2)2-4×4×<0, 即Δ=(a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是　　　　　　　　　　　　　.  解析:存在量词命题的否定是全称量词命题,将“存在”改为“任意”,“=”改为“≠”. 任意x∈R,使得x2+2x+5≠0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知命题p:“∃x≥3,2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值为　　.  解析:∵命题p:“∃x≥3,2x-1<m”是假命题, ∴ p:“∀x≥3,2x-1≥m”是真命题. ∴m≤5,故m的最大值为5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知命题p:存在x∈R,x2+2x+a=0.若命题 p是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:∵命题 p是假命题,∴p是真命题,即存在x∈R,x2+2x+a=0为真命题, ∴Δ=4-4a≥0,∴a≤1. (-∞,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(12分)写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; 解:这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是 p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”. 当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以 p是真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)q:存在一个实数x,使得x2+x+3≤0; 解:这一命题的否定形式是 q:对所有实数x,都有x2+x+3>0. 利用配方法可以验证 q是一个真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)r:等圆的面积相等,周长相等. 解:这一命题的否定形式是 r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,由平面几何知识知 r是一个假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(13分)指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围,并把量词用相应的数学符号取代. (1)对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0; 解:命题:对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0,命题中有量词“任意”,这是一个全称量词,它的作用范围是0<x≤90.该命题可以写成“∀n∈{x|0<x≤90},有sin n°>0”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)对某个有理数x,有4x=; 解:命题:对某个有理数x,有4x=.命题中有量词“某个”,这是一个存在量词,它的作用范围是有理数集合.该命题可以写成“∃x∈Q,有4x=”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)线段AB上有一点M满足比例式=. 解:命题:线段AB上有一点M满足比例式=.命题中有量词“有一点”,这是一个存在量词,它的作用范围是线段AB上.该命题可以写成“∃M∈线段AB,有=”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0,若命题 p和命题q都是真命题,求实数a的取值范围. 解:若命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0为真命题,则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,∴a≤1. 若命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2. ∵命题 p和命题q都是真命题,∴解得a≥2.故a的取值范围是{a|a≥2}. $$