1.2.2 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

1.2.2 充分条件和必要条件 充分条件与必要条件、充要条件 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件与必要条件 逐点清(二)　充要条件 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　充分条件与必要条件 01 多维理解 (1)当“若p,则q”成立,即_____时,把p叫作q的充分条件,q叫作p的必要条件. (2)p⇒q可以理解为若p成立,则q一定也成立,即p对于q的成立是______的;反过来,若q不成立,则p必不成立,即q对于p的成立是_____的. (3)自然地,若_____,则p不是q的充分条件,q也不是p的必要条件.  p⇒q 充分 必要 p q |微|点|助|解| (1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. (3)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. (4)p是q的充分条件反映了p⇒q,而q是p的必要条件同样反映了p⇒q,这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系,只是说法不同. (5)如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作p q.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. (　 ) (2)若p是q的充分条件,则p是唯一的. (　 ) (3)若q不是p的必要条件,则“p q”成立. (　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件. (　 ) 微点练明 ×　 ×　 √　 × 2.从符号“⇒”“ ”“⇔”中选择适当的一个填空: (1)x2>1　　x>1;  (2)a,b都是偶数　　a+b是偶数;  (3)x2=1　　|x|=1;  (4)n是偶数　　n是4的倍数.  ⇒ ⇔　 3.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 (　 ) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 √ 解析:四边形的对角线相等且平分才是矩形,故A错误;四边形的两组对边分别相等为平行四边形,故B错误;四边形有三个内角为直角才是矩形,故C错误;四边形两组对边分别平行则为平行四边形,则相邻两角互补,又有一组对角互补,故相邻两角相等,又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角,故该平行四边形是矩形,故D正确. 4.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若|x|≠1,则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 √ √ √ 解析:由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意. √ 5.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 (　 ) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0 √ √ 解析:A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意. 逐点清(二)　充要条件 02 多维理解 　　如果既有_______,又有______,就记作______.即p既是q的________,又是q的__________,此时我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.当然,此时q也是p的充分必要条件.换句话说,如果一个命题和它的逆命题都成立,则此命题的条件和结论互为充分必要条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充分条件 必要条件 |微|点|助|解| 条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,但q p p是q的充分而不必要条件 q⇒p,但p q p是q的必要而不充分条件 p⇒q且q⇒p,即p⇔q p与q互为充要条件 p q,且q p p是q的既不充分又不必要条件 微点练明 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 (　 ) A.充要条件　　　 　 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析:解x2-2x+1=0得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. √ 2.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为xy≠0,且+=-2,所以x2+y2=-2xy,即(x+y)2=0,所以x+y=0. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. √ 3.(多选)对任意实数a,b,c,下列命题正确的是 (　 ) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分而不必要条件 D.“a<5”是“a<3”的必要而不充分条件 √ √ 解析:由ac=bc,得ac-bc=0,即c(a-b)=0,故c=0或a=b,所以a=b是ac=bc的充分而不必要条件,所以A不正确;因为a+5是无理数,5是有理数,所以a是无理数,若a是无理数,则a+5是无理数,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,所以B正确;若0>a>b,则a2<b2,所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件,所以C不正确;a<5推不出a<3,若a<3,则a<5,故“a<5”是“a<3”的必要而不充分条件,所以D正确. 4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　　条件.  解析:a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0. 充要 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 03 [典例]　(1)使“x≤-或x≥3”成立的一个充分而不必要条件是(　 ) A.x<0 　　B.x≥0 C.x∈{-1, 3, 5} 　　D.x≤-或x≥3 √ 解析:对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件;对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件;对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分而不必要条件;对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件. (2)设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a,b都为1 　　B.a,b都不为1 C.a,b中至少有一个为1 　　D.a,b都不为0 解析:由ab+1=a+b,可得(a-1)(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C. √ 　　|思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集; (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立. (2)变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件. 针对训练 1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 √ 解析:对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即a+b<0是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确.故选A. 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 解析:从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3}, {x|1<x<2}⊆{x|0<x<3},故选CD. √ √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.若集合A={1, a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 　　　B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 　　　D.充要条件 解析:∵A={1, a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,即a=3⇒A⊆B,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的 (　 ) A.充分条件 　　　B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 　　　D.无法判断 解析: “好人”是“有好报”的充分条件,反之未必成立,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.(多选)下列选项中,可以是x2<4的一个必要条件的是 (　 ) A.-2<x<2 B.-2≤x≤2 C.0<x<2 D.-2<x<0 解析:∵x2<4,∴-2<x<2,∴A、B是x2<4的必要条件. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句:“读书破万卷,下笔如有神”.对此诗句的理解是读书只有读透书,博览群书,这样落实到笔下,运用起来才有可能得心应手,如有神助一般,由此可得,“读书破万卷”是“下笔如有神”的 (　 ) A.充分而不必要条件 B.充要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:杜甫的诗句表明书读得越多,文章未必就写得越好,但不可否认的是,一般写作较好的人,他的阅读量一定不会少,而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要而不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的是 (　 ) A.若四边形的一组邻边相等,则四边形是平行四边形 B.若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等 C.若a<3,则a<5 D.若x是无理数,则x2也是无理数 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为p不是q的充分条件,所以q不是p的必要条件,故A错误;若一个三角形三边分别为5,6,9,另一三角形三边分别为6,6,8,两个三角形周长相等,却不全等,p不是q的充分条件则q不是p的必要条件,故B错误;由a<3可以推出a<5,所以a<3是a<5的充分条件,则a<5是a<3的必要条件,故C正确;若x=,则x2=2,x2不是无理数,p不是q的充分条件,则q不是p的必要条件,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若=,则x=y 　B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则= 　D.若x<y,则x2<y2 解析:B项中,x2=1⇒x=1或x=-1;C项中,当x=y<0时,,无意义;D项中,当x<y<0,时x2>y2,所以B、C、D中p不是q的充分条件;显然A项正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的是 (　 ) A.若x=1,则x2=1 B.若ac=bc,则a=b C.若mn为无理数,则m,n为无理数 D.若x=1,则x-1= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若x=1,则x2=1,故x2=1是x=1的必要条件,故A正确;当ac=bc,c=0时,不能得到a=b,故B错误;取m=1,n=,满足mn为无理数,m为有理数,故C错误;当x=1时,x-1=,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)已知命题p:x<1,q:x<2,则下列说法正确的有 (　 ) A.p是q的必要条件 B.p是q的充分条件 C.p是q的充要条件 D.q是p的必要条件 解析:命题p:x<1,q:x<2,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.设x,y是两个实数,命题“x,y中至少有一个数大于1”的充分条件是 (　 ) A.x+y=2 B.x+y>2 C.x2+y2>2 D.xy>1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于C、D,当x= -2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意;显然B符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　 ) A.ab=0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 解析:|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2= a2+2|ab|+b2⇔ab=|ab|⇔ab≥0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则 (　 ) A.p是q的既不充分又不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要而不充分条件 D.s是q的充要条件 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由已知得p⇒r⇒s⇒q,q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.“x2=2x”是“x=0”的　　　　条件,“x=0”是“x2=2x”的 　　　 条件(用“充分”“必要”填空).  解析:由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 　充分 必要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的　　　条件.  解析:由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A⊆B,则A∪B=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 充要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)下列命题中,哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件? (1)对角线相等的菱形; 解:菱形的对角线垂直,它的对角线相等时,一定是正方形,是充分条件. (2)对角线互相垂直的矩形; 解:矩形的对角线相等,它的对角线垂直时,一定是正方形,是充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)对角线相等的平行四边形; 解:对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是正方形,不是充分条件. (4)有一个角是直角的菱形. 解:菱形的四边相等,有一个角是直角,则四个内角都是直角,它是正方形,是充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)设A={a+b||a2-2b2|=1,a,b∈Z},现有以下三个条件: 甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A. 求证:甲分别是乙和丙的充分条件. 证明:设x=a+b,y=c+d,则|a2-2b2|=1,a,b∈Z,|c2-2d2|=1,c,d∈Z, 则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad),显然ac+2bd,bc+ad∈Z, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2),a,b,c,d∈Z, 所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1,a,b,c,d∈Z, 所以xy∈A. 所以甲是乙的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为===-·,且|a2-2b2|=1,a,b∈Z, 所以若a2-2b2=1,则=a-b∈A; 若a2-2b2=-1,则=-a+b∈A. 所以甲是丙的充分条件. 综上,甲分别是乙和丙的充分条件. $$