1.1.2 子集和补集（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

1.1.2 子集和补集 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法. 3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示.理解空集与子集、真子集之间的关系. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　子　集 逐点清(二)　确定子集 (真子集)的个数 逐点清(三)　补　集 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　子　集 01 多维理解 1.子集 (1)如果集合A的每个元素都是集合B的元素,就说A__________,或者说B包含A,记作______ (或_____). (2)若A包含于B,则称A是B的一个______. (3)规定:______包含于任一集合,是任一集合的子集. (4)如果A⊆B并且B⊆A,就说两个集合______.记作______. (5)如果A⊆B但A≠B,就说A是B的_______,记作_____. 包含于B A⊆B B⊇A 子集 空集 相等 A=B 真子集 A B 2.Venn图 表示集合间关系的示意图叫作Venn图. 3.传递性 包含关系有传递性:若A⊆B,B⊆C,则_______;若A B,B⊆C,则 ______. A C A⊆C |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义:由任意x∈A,能推出x∈B. (2)在真子集的定义中,A B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. (3)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. (4)空集是任何非空集合的真子集. 微点练明 1.(多选)下列各对集合M,N中,满足M是N的子集的是 (　 ) A.M={-1,1},N={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)} B.M={x|-1<x<4},N={x|x-5<0} C.M={x|x是正方形},N={x|x是矩形} D.M={x|x=2n-1,n∈N+},N={x|x=2n+1,n∈N+} √ √ 解析:A中,集合M的代表元素是数,集合N的代表元素是有序实数对,故M与N之间无包含关系; B中,集合N={x|x<5},用数轴表示集合M,N,如图所示,由图可知M⊆N; C中,正方形是特殊的矩形,故M⊆N; D中,两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N+,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N⊆M. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　 ) A.2 B.1 C. D.-1 解析:依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2}, B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时 A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. √ 3.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y=　　.  2 解析:由集合元素的互异性可知x2≠0,则x≠0,因为A=B,所以解得因此2x+y=2. 4.若集合A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有　　　个.  解析:若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{2,3};若A中含有两个奇数,则A={1,3}. 5 5.已知A=(1,6),B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围为　　　　.  解析:∵A=(1,6),B={x|x<a},由A⊆B,结合数轴可知a≥6. [6,+∞) 逐点清(二)　确定子集 (真子集)的个数 02 多维理解 有限集合的子集个数有以下结论 (1)n个元素的集合有2n个子集; (2)n个元素的集合有(2n-1)个真子集; (3)n个元素的集合有(2n-1)个非空子集; (4)n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. 微点练明 1.已知a为给定的实数,那么,集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (　 ) A.1 B.2 C.4 D.不确定 解析:由方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根,则M有2个元素,得集合M有22=4个子集. √ 2.满足{a}⊆M {a,b,c,d}的集合M共有(　 ) A.6个 B.7个 C.8个 D.15个 解析:集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.故选B. √ 3.已知集合A,B,C,其中A有10个元素,C有15个元素,则满足A B C的集合B的个数为(　 ) A.32 B.31 C.30 D.5 解析:由题意,知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数,有25-2=30个,所以集合B的个数为30. √ 4.设集合A=,则集合A的子集个数为　　.  解析:因为A=,所以2+x=1或2+x=2或2+x=3或2+x=6,解得x=-1或x=0或x=1或x=4,即A={-1,0,1,4},集合A中含有4个元素,故其子集有24=16个. 16 逐点清(三)　补　集 03 多维理解 1.全集 如果在某个特定的场合,要讨论的对象都是集合U的____________,就可以把集合U约定为全集(或基本集). 元素和子集 2.补集 自然语言 若A是全集U的子集,U中________的元素组成的集合叫作A的补集,记作______.当U可以从上下文确定时,A的补集也可以记作 符号语言 ∁U A=______________ 图形语言 不属于A ∁U A {x|x∈U,且x∉A} 3.补集的性质 一般地,不论A是否是B的子集,都可用B\A表示B中________A的元素组成的集合. 不属于 |微|点|助|解| (1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.(2)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A包含三层含义:①A⊆U;②∁U A是一个集合,且∁U A⊆U;③∁U A是U中所有不属于A的元素构成的集合. 微点练明 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁U M= (　 ) A.U　　 B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} √ √ 2.设全集U为R,已知集合A={x|x+2<0},则=(　 ) A.(-2,+∞) B.[-2,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 解析:由题意可得A={x|x+2<0}={x|x<-2},故={x|x≥-2}. 3.设全集U={1,2,3},已知集合A={|a-1|,2},∁U A={1},则a的值为 (　 ) A.-4或4 B.4 C.4或-2 　 D.-2 解析:∵全集U={1,2,3},集合A={|a-1|,2},又∵∁U A={1},∴|a-1|=3,∴a=4或a=-2. √ √ 4.设全集U={1,3,5,7,9},若集合M满足∁U M={1,3,5},则 (　 ) A.7⊆M B.9⊆M C.7∈M D.9 ∉ M 解析:因为全集U={1,3,5,7,9},∁U M={1,3,5},所以M={7,9}.根据元素与集合的关系可知,A、B、D错误,C正确. 5.已知全集为R,集合A={x|x≤1},则=　　　　.  解析:全集为R,集合A={x|x≤1},则={x|x>1}. (1,+∞) 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.已知集合A={x∈N|0≤x≤4},B={3,4},则∁AB等于 (　 ) A.{0,1,2} B.{1,2} C.{1,2,3} D.{4} 解析:集合A={x∈N|0≤x≤4}={0,1,2,3,4},∁AB={0,1,2},故选A. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为(　 ) A.A B B.B A C.A=B D.A⊆B 解析:∵B=={(x,y)|y=x,x≠0},∴B A. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.设全集U={2,4,6,8},若集合M满足∁U M={2,8},则 (　 ) A.4⊆M B.6⊆M C.4∈M D.6 ∉ M 解析:由题意可得M={4,6},显然4是M中的元素,故A、B、D错误,C正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)下列关系正确的是 (　 ) A.0∈∅ B.∅∈{∅} C.∅⊆{∅} D.∅⊆{0} 解析:空集中没有元素,故A错误;{∅}中只有一个元素∅,故B正确;空集是任意集合的子集,故C、D正确. 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为B⊆A,所以x2∈A.又x2≠1,所以x2=3或x2=x,所以x=±或x=0.故选C. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.若P=(-∞,1),Q=(-1,+∞),则 (　 ) A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP 解析:∵P=(-∞,1),∴∁RP=[1,+∞),又Q=(-1,+∞),∴∁RP⊆Q. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 (　 ) A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2} 解析:∵A⊆B,A⊆C,∴A中的元素应为B和C的共同元素. ∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}.结合选项知,A、C选项满足题意,故选A、C. √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=　 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,故m=2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠∅,B⊆A,则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2 ∉ M,且 ∉ M.若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数是(　 ) A.11 B.12 C.15 D.16 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当M中有元素0时,02=0∈M,=0∈M.当M中有元素1时,12=1∈M,=1∈M,所以0 ∉ M,1 ∉ M,所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且去掉元素2,4同时出现的集合,故满足题意的集合M有{2},{3},{4},{5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,5},{3,4,5}共11个. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.集合{a,b}的真子集是{a},{b} B.{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2 D.∅∈{x|x2+1=0,x∈R} 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b},∅,故A不正确;对于B,因为菱形一定是平行四边形,所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形},故B正确;对于C,由A=B及集合元素的互异性得a=-1,b=1故a-b=-2,故C正确;对于D,因为x是实数,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}=∅,故D不正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为　　　　.  解析:∵xy>0,∴x,y同号.又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P. 16 M=P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知全集U={2,3,a2+2a+2},集合A={2,3},∁U A={5},则实数a的值为　　　　.  解析:全集U={2,3,a2+2a+2},集合A={2,3},∁U A={5},则a2+2a+2=5,解得a=1或a=-3,所以实数a的值为1或-3. 16 1或-3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知集合A={1,2,3}. (1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M; 解:∵M⊆A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若B={x|ax-3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合. 解:当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,B=; 若B⊆A,则=1或=2或=3, 解得a=3或a=或a=1. 综上所述,实数a的取值集合为. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围. 解:①当A无真子集时,即A=∅时, 则方程ax2+2x+1=0无实根, 所以解得a>1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况:当a=0时,方程化为2x+1=0,解得x=-,符合题意; 当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 16 $$