1.1.1 第2课时 表示集合的方法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

表示集合的方法 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1.掌握表示集合的方法——列举法和描述法,培养数学抽象核心素养. 2.能利用集合的表示法表示一些简单的集合并能进行自然语言与集合语言间的相互转换. 3.会用集合中元素的共同特征描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合. 4.理解区间的概念,能够正确使用“区间”的符号来表示某些集合. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　列举法 逐点清(二)　描述法 逐点清(三)　区　间 4 课时跟踪检测 3 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 逐点清(一)　列举法 01 多维理解 列举法的定义及常用格式 定义 把集合中的元素___________出来表示集合的方法叫作列举法 常用格式 在一个_______里写出每个元素的名字,相邻的名字用____分隔 一一列举 大括号 逗号 (1)a与{a}是完全不同的,{a}表示一个集合,这个集合由元素a构成,a是集合{a}的一个元素. (2)列举法表示集合的注意点: ①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④元素不能遗漏. |微|点|助|解| 微点练明 1.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D.绝对值小于3的整数组成的集合可表示为{-2,-1,0,1,2} √ √ 解析:由于“0”是元素,而“{0}”表示含0元素的集合,所以A错误;根据集合中元素的无序性,知B正确;根据集合元素的互异性,知C错误;易知D正确. 2.用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; 解:因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合; 解:方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; 解:将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)由所有正整数构成的集合. 解:正整数有1,2,3,…,故所求集合为{1,2,3,…}. 逐点清(二)　描述法 02 多维理解 　　描述法的定义及一般格式 定义 把集合中元素_______,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合,这种表示法叫作描述法 一般格式 在一个大括号里写出集合中元素的共有属性,有些集合用一句话描述起来不方便,通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式,再画一条竖线,然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件 共有的 1.描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式,是数,是点或有序实数组大不相同. (2)所有描述内容都要写在花括号内,如写法{x|x=2k-1},k∈Z,不符合要求,应写为{x|x=2k-1,k∈Z}. |微|点|助|解| 2.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素:例如{x|P(x)}表示数集,{(x,y)|y=P(x)}表示点集. (2)二看条件:即看代表元素满足什么条件(公共特征). 微点练明 1.集合A={x|-3<2x-1≤3,x∈Z}等于 (　 ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1} 解析:由-3<2x-1≤3,得-2<2x≤4,故-1<x≤2,因为x∈Z,所以A={0,1,2}. √ 2.(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为 (　 ) A.{x|x是不大于9的非负奇数} B.{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4} C.{x|x≤9,x∈N+} D.{x|0≤x≤9,x∈Z} √ √ 解析: {x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确;{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确;{x|x≤9,x∈N+}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误;{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误. 3.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; 解:函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; 解:不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}. (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; 解:题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 解:3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N+}. 逐点清(三)　区　间 03 多维理解 1.设a,b为两个实数,且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a<x<b} 开区间 _____________ {x|a≤x≤b} 闭区间 _____________ {x|a<x≤b} 左开右闭区间 ___________ {x|a≤x<b} 左闭右开区间 ____________ (a,b) [a,b] (a,b] [a,b) 实数a,b分别叫作上述区间的________和_______. 2.实数集R可以用区间表示为________,符号∞读作“无穷大”或“无穷”,-∞和+∞分别读作“负无穷大”(或“负无穷”)和“正无穷大”(或“正无穷”).{x|x ≥ a}用区间表示为_______,{x|x<b}用区间表示为_______. 左端点 右端点 (-∞,+∞) [a,+∞) (-∞,b) (1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示,但并不是所有数集都能用区间表示.如{1,2,3}就不能用区间表示. (2)区间的左端点必须小于右端点. (3)有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度. |微|点|助|解| 1.区间(0,1]等于 (　 ) A.{0,1} B.{(0,1]} C.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1} 解析:区间(0,1]表示由0<x ≤ 1的实数组成的集合{x|0<x≤1}. 微点练明 √ √ 2.(多选)满足不等式5-x≥3且x-2<2x-1的实数x组成的集合A,则集合A为 (　 ) A.{x|-1<x≤2} B.(-1,2) C.(-1,2] D.[-1,2] √ 解析:∵5-x≥3,∴x≤2. 又∵x-2<2x-1,∴x>-1. ∴满足5-x≥3且x-2<2x-1的实数x满足-1<x≤2, ∴A={x|-1<x≤2}=(-1,2]. 3.已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是　　　　.(用区间表示)  解析:依题意2a-1<7,则a<4,故实数a的取值范围是(-∞,4). (-∞,4) 4.用区间表示下列集合. (1){x|-2≤x-1<5}=　　　;  解析:由-2≤x-1<5,解得-1≤x<6, ∴{x|-2≤x-1<5}=[-1,6). [-1,6) (2){x|3-x≤3x}=　　　　　.  解析:∵3-x≤3x,x≥, ∴{x|3-x≤3x}=. (3){t|t<a}=　　　.  解析:{t|t<a}=(-∞,a). (-∞,a) 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 04 [典例]　已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值. 解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-,符合题意;当a≠0时,由Δ=0,得a=1,此时x=-1.所以若A中只有一个元素,则a的值为0或1. 　　[变式拓展] 1.将本例中“只有一个”改为“有两个”,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:若A中有两个元素,即关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,所以a≠0且Δ=4-4a>0,即a<1且a≠0,故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}. {a|a<1且a≠0} 2.若将本例中“只有”改为“至多有”,则a的取值范围为　　　　　　　.  解析:当a≠0时,若A中至多含有一个元素,则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根或没有实根. 由Δ=4-4a≤0,得a≥1. 当a=0时,由典例知方程有唯一解. 所以若A中至多有一个元素,a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. {a|a≥1或a=0} 3.把本例中“只有”改为“至少有”,则a的取值范围为　　　　.  解析:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.当a≠0时,由Δ≥0,得a≤1且a≠0;当a=0时,由例题解析可知方程有唯一解.综上,a≤1.故a的取值范围为(-∞,1]. (-∞,1] 4.在本例条件下,是否存在实数a,使集合A与集合{1}相等?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:∵A={1},∴1∈A,∴a+2+1=0,即a=-3. 又当a=-3时,由-3x2+2x+1=0, 得x=-或x=1,即方程ax2+2x+1=0有两个根-和1,此时A=,与A={1}矛盾.故不存在实数a,使A={1}. |思|维|建|模| 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系,往往是用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根. (2)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论. (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 √ 1.如果A=(-1,+∞),那么 (　 ) A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A 解析:∵0>-1,∴0∈A,故选D. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 3 4 √ 2.下列集合中表示同一集合的是 (　 ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 2 3 4 解析:选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集,集合N是由点(2,3)组成的点集,故集合M与N不是同一个集合;选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合,集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合,即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合;选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N不是同一个集合;对于选项B,由集合中元素的无序性,可知M,N表示同一个集合. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 (　 ) A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5} C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5} 解析:根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或x=5,用列举法表示为{-1,5}. 16 14 4.在数轴上与原点的距离不大于3的点表示的数的集合是 (　 ) A.{x|x≤-3或x≥3} B.{x|-3≤x≤3} C.{x|x≤-3} D.{x|x≥3} 解析:由题意满足|x|≤3的集合为{x|-3≤x≤3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 5.已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.无数个 解析:由题意得A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N}={(0,0),(0,1), (0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},故集合A中含有6个元素. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 6.(多选)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是 (　 ) A.(1,2)∈B B.A=B C.0 ∉ A D.(0,0) ∉ B 解析:由已知得集合A={y|y≥1},集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合,A、C、D正确,B错误. 16 √ √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 7.已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a= (　 ) A.-1 B.-3或1 C.3 D.-3 解析:∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2.若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3.当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立.若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,a=-3. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 8.设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:易得集合B中的元素为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1), (1,0),(1,1),共9个元素.故选C. √ 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 √ 9.(多选)已知集合A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则下列判断正确的是 (　 ) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 解析:集合A表示奇数集,B表示偶数集,∴x1,x2是奇数,x3是偶数,故A、B、C正确,D错误. 16 √ √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 10.设A是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈A,都有a+b,a-b,ab,∈A(除数b≠0),则称A是一个数域,则下列集合为数域的是(　 ) A.N B.Z C.Q D.{x|x≠0,x∈R} √ 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 解析:1,2∈N, ∉ N,故N不是数域,A错误,同理B错误;任意a,b∈Q,都有a+b,a-b,ab,∈Q(除数b≠0),故Q是一个数域,C正确;对于集合A={x|x≠0,x∈R},1∈A,1-1=0 ∉ A,故{x|x≠0,x∈R}不是数域,D错误. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 11.已知集合A={a2,0,-1},B={a,b,0},若A=B,则(ab)2 023的值为 (　 ) A.0 B.-1 C.1 D.±1 解析:根据集合中元素的互异性可知a≠0,b≠0,因为A=B,所以-1=a或-1=b,当a=-1时,b=a2=1,此时(ab)2 023=(-1)2 023=-1;当b=-1时,则a2=a,因为a≠0,所以a=1,此时(ab)2 023=(-1)2 023=-1. 综上可知,(ab)2 023=-1. √ 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 12.用区间表示不等式-2x+5≥7的解集为　　　　.  解析:由-2x+5≥7,得x≤-1. 16 (-∞,-1] 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 13.已知集合A=,写出一个满足A中有8个元素的m的值　　　　　　　.  解析:m的值可以是6,满足|m|≤9.要∈Z,所以x=1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.所以集合A中有8个元素. 16 6(答案不唯一) 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知集合A={x|ax2+x+1=0},若A中只有一个元素,则a=　　　;若A中有两个元素,则a的取值范围是　　　　　　　　　.  16 0或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 16 解析:若A中只有一个元素,则当a=0时,方程有一个根;当a≠0时,Δ=1-4a=0,即a=,此时满足A中只有一个元素.故a=0或a=. 若A中有两个元素,即方程有两个不相等实根,此时应满足即a<且a≠0. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 15.(10分)用适当的方法表示下列集合. (1)不大于10的非负奇数集; 解:(1)由不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,所以不大于10的非负奇数集,用列举法可表示为{1,3,5,7,9}. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 (2)A={x|x=|x|,x∈Z且x<5}; 解:由集合A={x|x=|x|,x∈Z且x<5},则满足x≥0且x∈Z且x<5, 所以x=0,1,2,3,4, 所以集合A可表示为{0,1,2,3,4}. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 (3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解:由平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|, 所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x,y)||x|=|y|}. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 16.(10分)已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}. (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使得m=a+b成立? 解:设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z), 令a=3k+1(k∈Z),b=3k+2(k∈Z),则m=a+b. 故若m∈M,则存在a∈A,b∈B, 使得m=a+b成立. 16 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 3 4 2 (2)对于任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使得a+b=m?证明你的结论. 解:设a=3k+1,b=3l+2,k,l∈Z, 则a+b=3(k+l)+3,k,l∈Z. 当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3∈M, 此时存在m∈M,使得a+b=m成立; 当k+l=2p+1(p∈Z)时,a+b=6p+6∉M, 此时不存在m∈M,使得a+b=m成立. 故对于任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使得a+b=m. 16 14 $$