1.1.1 第1课时 集合与元素 （课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

第1章 集合与逻辑 1.1.1 集　合 第1课时　集合与元素　 (教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.准确理解集合与元素的含义,理解集合与元素的属于与不属于的关系. 2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题. 3.理解有限集、无限集、空集的含义,并能判断集合的类型. 4.熟记常用数集的表示符号,通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　集合与元素的概念　 逐点清(二)　集合与元素的关系 逐点清(三)　集合元素性质的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　集合与元素的概念　 01 多维理解 1.集合与元素的概念 把一些对象放在一起考虑时,就说这些对象组成了一个__________.这些对象中的每一个,都叫作这个集合的一个_____. 集合或集 元素 2.集合的基本属性 互异性 同一集合中的元素是__________的 确定性 集合中的元素是确定的.亦即给定一个集合,任何一个元素_____或________这个集合是确定的 无序性 集合中的元素__________ 互不相同 属于 不属于 没有顺序 对集合概念的理解 (1)“集合”是数学中的一个基本概念,同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念. (2)集合是一个“整体”,一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等. |微|点|助|解| 3.集合的分类 有限集 元素个数_____的集合叫有限集(或有穷集) 无限集 元素_______的集合叫无限集(或无穷集) 空集 _________的集合叫空集,记作___;空集也是有限集 有限 无限多 没有元素 ∅ 微点练明 1.(多选)考察下列每组对象,能组成集合的是 (　 ) A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.唐宋散文八大家 解析:A中“最美”标准不明确,不符合确定性,B、C、D中的元素标准明确,均可构成集合,故选BCD. √ √ √ 2.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根组成的集合为M,则M中的元素个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根分别是2,3和2,-1,又集合中的元素具有互异性,所以集合M中的元素个数为3个. √ 3.(多选)下列给出的对象构成的集合是有限集的是 (　 ) A.使得式子有意义的所有实数 B.方程=3的所有负整数解 C.30的所有质因数 D.与定点A,B等距离的所有点 √ √  解析:使得式子有意义的实数为所有不等于0的实数,有无数多个,其构成的集合为无限集,故A错误;方程=3的负整数解构成的集合为空集,空集是有限集,故B正确;30的质因数为2,3,5,共3个,其构成的集合为有限集,故C正确;与定点A,B等距离的点在线段AB的垂直平分线上,有无数多个,其构成的集合为无限集,故D错误. 4.下列说法中,正确的有　　　　.(填序号)  ①单词element的所有字母组成的集合的元素共有7个;②集合M中有3个元素a,b,c,其中a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形;③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合. ② 解析:①不正确.element的字母e有重复,共有5个不同的字母,元素个数是5.②正确.集合M中有3个元素a,b,c,所以a,b,c互不相等,它们构成的三角形三边不相等,故不可能是等腰三角形.③不正确.小于10的自然数不管按哪种顺序排列,里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数,集合是相同的,和元素的排列顺序无关. 逐点清(二)　集合与元素的关系 02 多维理解 1.集合与元素之间的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合S的一个元素 ____________ a属于S 不属于 a不是集合S的元素 _____________ 或_____ a不属于S a∈S a∉S a S 2.常用数集及其记法 自然数集 整数集 有理数集 实数集 _________ ________ _______ _______ N Z Q R (1)元素和集合是两个完全不同的概念,元素是集合中的某一对象,而集合是由所有的元素组成的. (2)由元素的确定性可知,对于任何a与A,a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. |微|点|助|解| (3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. (4)通常用R+表示全体正实数组成的集合;类似的有R-,Z+,N+,Q-,…,其中N是非负整数集(即自然数集),而N+表示正整数集,N包括元素0,而N+不包括元素0. 微点练明 1.若集合A含有两个元素0,1,则 (　 ) A.1∉A B.0∈A C.0∉A D.2∈A 解析:因为集合A含有两个元素0,1,所以0∈A,1∈A,故选B. √ 2.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则 (　 ) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 解析:由题意可知解得-4<a≤-2. √ 3.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 (　 ) A.3.14 B.-5 C. D. 解析:因为是实数,但不是有理数,所以选D. √ 4.(多选)已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是 (　 ) A.-2∈A B.-11∉A C.3k2-1∈A D.-34∉A 解析:令3k-1=-2,解得k=-,-∉Z,∴-2∉A;令3k-1=-11,解得k=-,-∉Z, ∴-11∉A;∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈Z,∴-34∈A. √ √ 5.用“∈”或“∉”填空: 　 　　　N;-3　　 　Z;-　　 　Q-;0　　　　N+;　　　　R+;π　 　　Q.  ∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∉ 逐点清(三)　集合元素性质的应用 03 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值. 解:由题意,可知a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0. 　　[变式拓展] 1.本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.所以a的取值范围是a≠±1. 2.本例中若“1”和“a”互换位置,求实数a的值. 解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,集合A有重复元素,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1. 当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1. |思|维|建|模|　由元素性质求参数的步骤 针对训练 　已知集合A中含有三个元素,分别是a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1∈A,求实数a的值. 解:若a+2=1,则a=-1,此时A中元素是1,0,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 若(a+1)2=1,则a=0或a=-2, 当a=0时,A中元素是2,1,3,符合题意; 当a=-2时,A中元素是0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2(均舍去).综上可知a=0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　 ) A.倒数等于它本身的数 B.某班视力较好的同学 C.所有有理数 D.小于π的正整数 解析:根据集合的概念,可知集合中元素具有确定性,可得选项A、C、D中的元素都是确定的,故选项A、C、D能构成集合,但B选项中“视力较好”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合.故选A、C、D. 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.集合N与集合N+是同一个集合 B.集合N中的元素都是集合Z中的元素 C.集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D.集合Q中的元素都是集合R中的元素 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 解析:本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.下列给出的对象能构成集合并且为无限集的是 (　 ) A.所有很大的实数组成的集合 B.满足不等式<2的所有整数解组成的集合 C.所有大于-4的偶数组成的集合 D.所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A:“很大的实数”的标准不确定,故不能组成集合,错误;B:满足不等式<2的所有整数解为-1,0,1,2,为有限集,错误;C:所有大于-4的偶数组成的集合为{a|a=2n,n>-2,n∈Z},为无限集,正确;D:所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素,错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是 (　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 解析:因为-1∈M,所以2×(-1)∈M,即-2∈M. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.由a2+1,a+3,a组成的集合含有元素2,则实数a的可能取值的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:当a2+1=2时,a=±1,当a=1时,三个数分别为2,4,1,符合元素的互异性;当a=-1时,三个数分别为2,2,-1,不符合元素的互异性;当a+3=2时,a=-1,三个数分别为2,2,-1,不符合元素的互异性;当a=2时,三个数分别为5,5,2,不符合元素的互异性.所以实数a的值可能为1,只有一个. 16 7.已知集合P中的元素满足2<x≤k,x∈N,若集合P中恰有4个元素,则 (　 ) A.6<k<7 B.6≤k<7 C.5<k<6 D.5≤k<6 解析:易知集合P中含有3,4,5,6共4个元素,所以6≤k<7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)下列四个语句正确的是 (　 ) A.集合N+中最小的数是1 B.若-a∉N,则a∈N C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2 D.x2+1=2x的解集中含有1个元素 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,因为N+是正整数集,最小的正整数是1,所以A正确;对于B,取a=,则-∉N,∉N,所以B错误;对于C,当a=b=0时,a+b取得最小值0,而不是2,所以C错误;对于D,解集中只含有元素1,所以D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是(　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合中,含有元素的个数最多为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵=|x|,-=-|x|,故当x=0时,这几个实数均为0;当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x;当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,x.最多表示2个不同的数,故集合中的元素最多为2个.故选A √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.若x∈N,且∈N,则x=　　.  解析:因为x∈N,且∈N,所以x=1. 16 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合,则-1______D, (-1,1)　　D.  解析:因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D, (-1,1)∈D. 16 ∉ ∈ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知集合M有2个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法一定错误的是_____　(填序号).  ①2∈M;②1∈M;③x≠3. 解析:依题意解得x≠-1,x≠1且x≠3.对于①,当x=2或2-x=2,即x=2或0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;对于②,当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素为1,1不满足互异性,故②不正确,③显然正确. 16 ② 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  解析:∵∈N,∴3-x=1或3-x=2或3-x=3或3-x=6,即x=2或x=1或x=0或x=-3.又x∈N,故x=0或x=1或x=2.即集合A中的元素为0,1,2. 16 0,1,2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知集合A含有两个元素m,m2-3m,其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数? 解:根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4,因此,实数m不能取0和4. (2)若4∈A,求实数m的值. 解:由(1)的结论,可知m≠4,若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意),因此,实数m的值是-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)设集合S中的元素全是实数,且满足下面两个条件: ①1∉S;②若a∈S,则∈S. (1)求证:若a∈S,则1-∈S; 解:证明:因为1∉S,a∈S,所以1-a≠0, 且∈S,可得==1-∈S, 故若a∈S,则1-∈S. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若2∈S,则在S中必含有其他的两个元素,试求出这两个元素. 解:由2∈S,得=-1∈S;由-1∈S,得=∈S;而当∈S时,=2∈S,…,因此当2∈S时,集合S中必含有-1,两个元素. 16 $$