4.2.2 对数的运算性质（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）  

4.2.2 对数的运算性质 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解对数的运算性质,能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 (一)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么, (1)loga(MN)=_______________; (2)loga=______________; (3)logaMn=_________ (n∈R). 恒等式:loMn=logaM(n∈R,m≠0). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM |微|点|助|解| 　 1.对数的运算性质 (1)对数运算性质的语言表达:“积的对数=对数的和”,“商的对数=对数的差”. (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (3)注意性质的使用条件:每一个对数都要有意义. log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的,log10(-10)2=2log10(-10)是不成立的. 2.对数运算中的常用结论 已知a>0,且a≠1. (1)loga=logaM-1=-logaM(M>0); (2)loga=logalogaM(M>0,n,p∈N*,p,n>1); (3)推广:logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*,N1, N2,…,Nk均大于0). (二)换底公式 1.对数换底公式 logaN=__________(其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1). 2.推论 (1)logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). (2)logab·logbc·logca=1(a>0,b>0,c>0,且a,b,c≠1). |微|点|助|解| 　 (1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. (2)运用换底公式可以改变对数式的底数,把不同底数问题转化为同底数问题来进行化简、计算和证明. (3)实际应用换底公式时,底数究竟换成什么要由具体的已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数. 基础落实训练 1.计算log84+log82等于 (　 ) A.log86 B.8 C.6 D.1 解析：log84+log82=log88=1. √ 2.计算log510-log52等于 (　 ) A.log58 B.lg 5 C.1 D.2 √ 3.计算log92×log43= (　 ) A.4 B.2 C. D. 解析：log92×log43=. √ 4.若lg 3=a,lg 2=b,用a,b表示log43=　　　　.  解析：log43=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对数运算性质的应用 [例1]　求下列各式的值. (1); 解：原式==. (2)(lg 5)2+lg 2×lg 50; 解：原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=lg 5+lg 2=1. (3). 解：原式====-1. |思|维|建|模|　对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式,化简的常用方法是: ①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数式; ②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对含有多重对数符号的对数,应从内向外逐层化简. (3)当真数是形如“”的式子时,常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. 针对训练 1.(多选)若10a=4,10b=25,则 (　 ) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab>8(lg 2)2 D.b-a<lg 6 解析：∵10a=4,10b=25,∴a=lg 4,b=lg 25,∴a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg>lg 6,选项B、D错误;ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8(lg 2)2,选项C正确. √ √ 2.计算: (1)2(lg )2+lg ×lg 5+; 解：原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)log535+2lo-log5-log514. 解：原式=log5+2lo=log553-1 =3-1=2. 题型(二)　对数换底公式的应用 [例2]　已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456. 解：因为2b=3,所以b=log23,即log32=. 所以log1456==. 1.本例条件不变,试用a,b表示log2898. 解:log2898=. 变式拓展 2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2,其他条件不变,则结论又如何呢? 解:因为3b=2,所以b=log32.又a=log37, 所以log1456=. |思|维|建|模| 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 针对训练 3.求值: (1)log23×log35×log516; 解：原式==4. (2)(log32+log92)(log43+log83). 解：原式= = =. 题型(三)　对数运算的实际应用 [例3]　在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=(e为自然对数的底数)(ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s). 解：因为v=ln=2 000ln, 所以v=2 000ln 3≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s. |思|维|建|模|　 解决对数应用题的一般步骤 针对训练 4.每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬,科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数v=log3-lg x0表示,v的单位是km/min,其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差. (1)若x0=4,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?(结果保留到整数位,参考数据:lg 4≈0.60,31.2≈3.74) 解：将x0=4,v=0,代入v=log3-lg x0,得0=log3-lg 4,则log3=2lg 4≈1.2,即≈31.2≈3.74,解得x≈374,所以候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为374个单位. (2)若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min,雌鸟的飞行速度为0.8 km/min,问雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍? 解：设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位,雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位, 由题意得两式相减得0.5=log3,解得=3. 所以雄鸟每分钟耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍. 5.光线通过某种玻璃时,强度损失10%,要使光线强度减弱到原来的以下,求至少需要多少块这样的玻璃(参考数据lg 3≈0.477 1). 解:设需要n(n∈N*)块这样的玻璃,由题意可得,即n≥lo. 因为lo≈10.417,又n∈N*, 所以至少需要11块这样的玻璃. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.计算lg 2-lg-eln 2等于(　 ) A.-1 B. C.3 D.-5 解析：原式=lg-2=-1. √ A级——达标评价 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.化简log832的值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. 解析：log832=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知10x=3,10y=5,则用x,y表示lg为(　 ) A. B. C.2x+y-1 D.2x-y+1 解析：因为10x=3⇔x=lg 3,10y=5⇔y=lg 5,所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)(　 ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析：由已知得,lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)若a>1,b>1,且lg(a+b)=lg a+lg b,则 (　 ) A.lg(a-1)+lg(b-1)=0 B.lg=0 C.lg(a-1)+lg(b-1)=1 D.lg=1 解析：依题意a>1,b>1,由lg(a+b)=lg a+lg b=lg(ab),得a+b=ab.所以(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=1,且=1,即lg(a-1)+lg(b-1)=lg[(a-1)(b-1)]=lg 1=0,lg=0.故选A、B. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,则ab的值等于　　　.  解析：∵lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根,∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100. 100 7.求值:=　　　　.  解析：=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知log37=a,log74=b,用a,b表示log427为　　 　　.  解析：由log37=a,log74=b,可得ab=log37×log74=log34=2log32.则log427=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)计算下列各式的值: (1)log3+lg 25+lg 4+; 解：原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)2log32-log3+log38-. 解：原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(已知lg 2≈0.301 0) 解:设抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%,原先容器中的空气体积为a,则a(1-60%)n<0.1%a,即0.4n<0.001,两边取常用对数, 得n·lg 0.4<lg 0.001,∴n>≈7.5.故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0.1%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.17世纪初,苏格兰数学家纳皮尔发明了对数,在此基础上,布里格斯制作了第一个常用对数表,在科学技术中,还常使用以无理数e为底数的自然对数,其中e=2.718 28…,对数是简化运算的有效工具,依据下表数据,计算ln的结果约为(　 ) B级——重点培优 x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 解析：lnln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)] =(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)若实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的有 (　 ) A.=1 B.=lg 20 C.=2 D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由已知,得a=log210,b=log510,=lg 2+lg 5=1,故A正确;=lg 4+lg 5=lg 20,故B正确;=lg 2+lg 25=lg 50,故C、D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.十六、十七世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数,直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N⇔b=logaN,现在已知a=log48, b=log24,则4a=　　　　,a+b=　　　　.(用最简结果作答)  解析：已知a=log48,b=log24,所以4a==8,a+b=+2=+2=. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)设xa=yb=zc,且,求证:z=xy. 证明:设xa=yb=zc=k,k>0,且k≠1,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为,所以,即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)解答下列问题: (1)用ln x,ln y,ln z表示ln; 解：ln=lny4-ln=ln+ln y4-lnln x+4ln y-ln z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知2x=3y=M,且=1,求M的值. 解：因为2x=3y=M,所以x=log2M,y=log3M.所以=logM2,=logM3.又因为=1,即=1,所以2logM3+3logM2=logM72=1,即M=72. $$