第2章 2.1 第2课时 函数概念的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

函数概念的应用　 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.进一步了解函数的概念,能求简单函数的值及定义域.　 2.能求一些简单的抽象函数值及定义域. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　求函数值 题型(二)　求抽象(复合)函数的定义域 题型(三)　求简单函数的值域 4 课时跟踪检测 题型(一)　求函数值 01 [例1]　已知f(x)=(x≠-1),g(x)=x2+2. (1)求f(2)和g(2); 解:f(2)==,g(2)=22+2=6. (2)求g(f(2)),f(g(x)); 解:g(f(2))=g=+2=, f(g(x))===. (3)若=4,求x. 解:=x2+3=4,即x2=1,解得x=±1. |思|维|建|模| (1)已知函数解析式求函数值,可分别将自变量的值代入解析式,即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入求解. (2)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制. 1.若f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)= (　 ) A.p+q B.3p+2q C.2p+2q D.p2+q2 针对训练 √ 解析:因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+ f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q. 2.已知函数f(x)=x+,则f(2)=　　;当a≠-1时,f(a+1)=　　 　　.  解析:由题意,得f(2)=2+=. 当a≠-1时,a+1≠0, 所以f(a+1)=a+1+. 　 a+1+ 题型(二)　求抽象(复合)函数的定义域 02 [例2]　若函数y=f(x)的定义域是[1,2 023],则函数g(x)=的定义域是(　 ) A.[0,2 022] B.[-1,1)∪(1,2 022] C.(1,2 024] D.[0,1)∪(1,2 022] √ 解析:因为y=f(x)的定义域是[1,2 023], 则由g(x)=可得 ⇒ 故g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2 022].故选D. 变式拓展 若本例条件变为“f(2x)的定义域是[1,2 023]”,则如何求解. 解:由题意,得x∈[1,2 023],故2x∈[2,4 046], 所以x+1∈[2,4 046],解得x∈[1,4 045]. 又x-1≠0,解得x≠1. 综上,g(x)=的定义域为(1,4 045]. |思|维|建|模| 理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值所组成的集合; (2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的范围; (3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同; (4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的范围(值域)为A,求出x的取值范围; (5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的范围(值域),此范围就是f(x)的定义域. 针对训练 3.若函数f(x)的定义域为[0,4],则函数g(x)=f(x+2)的定义域为 (　 ) A.[-2,2] B.[0,2] C.[2,6] D.[2,4] 解析:因为函数f(x)的定义域为[0,4],所以0≤x+2≤4,解得-2≤x≤2.所以函数g(x)=f(x+2)的定义域为[-2,2]. √ 4.若函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为 (　 ) A. B.[-1,2] C.[-1,5] D. 解析:因为函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],即x∈[-1,2],所以2x∈[-2,4].所以3-2x∈[-1,5].所以函数f(x)的定义域为[-1,5]. √ 题型(三)　求简单函数的值域 03 [例3]　求下列函数的值域: (1)y=x+1; 解:观察法　 ∵x∈R,∴x+1∈R,即函数值域是R. (2)y=x2-2x+3,x∈[0,3); 解:配方法　 y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图), 可得函数的值域为[2,6). (3)y=. 解:分离常数法　 y===3-. ∵≠0,∴y≠3. ∴y=的值域为(-∞,3)∪(3,+∞). |思|维|建|模|　求函数值域的方法 观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到 配方法 此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法 分离常数法 此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域 针对训练 5.求下列函数的值域: (1)y=-1(x≥4); 解:因为x≥4,所以≥2.所以-1≥1. 所以y∈[1,+∞). (2)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; 解:因为x∈{1,2,3,4,5},y=2x+1, 所以y={3,5,7,9,11}. (3)y=x2-2x-3(x∈[-1,2]). 解:因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,x∈[-1,2],所以当x=1时,ymin=-4, 当x=-1时,ymax=0.所以函数值域为[-4,0]. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1.已知函数f(x)=,则f=(　 ) A. B. C.a D.3a 解析: f==3a.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.设函数f(x)=ax3+bx+1,f(1)=1,则f(-1)= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:因为f(1)=a+b+1=1,所以a+b=0.所以f(-1)=-(a+b)+1=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.已知函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 (　 ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 解析:由题意,知当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3,所以函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.已知函数f(x)=,则函数f(2-x)+f(x)的定义域为(　 ) A.[0,+∞) B.[-4,0) C.[0,2] D.[0,4] 解析由f(x)=⇒4-x2≥0⇒-2≤x≤2,于是有 ⇒0≤x≤2,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是(　 ) A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.[-8,-2)∪(-2,1] C. D.∪(-2,0] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=有解得-≤x<-2或-2<x≤0. 所以函数g(x)的定义域为∪(-2,0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=x2+|x-2|,则f(1)=　　　　.  解析:因为f(x)=x2+|x-2|,所以f(1)=12+|1-2|=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数y=f(-2x+1)的定义域是[-1,2],则y=f(x)的定义域是　　　 .  解析:由题意知-1≤x≤2,所以-3≤-2x+1≤3.所以y=f(x)的定义域为[-3,3]. [-3,3] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.函数f(x)=(x∈R)的值域是　　　　.  解析:因为x2+1≥1,所以0<≤1,故函数f(x)=(x∈R)值域为(0,1]. (0,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知f(x)=3x2-1,g(x)=. (1)求f(1),g(1)的值; 解:∵f(x)=3x2-1,∴f(1)=3×12-1=2. ∵g(x)=,∴g(1)==. (2)求f(g(1)),g(f(1))的值; 解:由(1)知f(g(1))=f=3×-1=-,g(f(1))=g(2)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求f(x),g(x)的值域. 解:∵x2≥0,∴3x2-1≥-1, ∴f(x)的值域是[-1,+∞). ∵≠0, ∴g(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数y=f(2x-1)的定义域为(-1,2),求函数g(x)=的定义域. 答案:(-3,1)∪(2,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:∵y=f(2x-1)的定义域为(-1,2), ∴-1<x<2,-3<2x-1<3,所以f(x)的定义域为(-3,3);函数g(x)=有意义, 则解得-3<x<1或2<x<3,所以g(x)的定义域为 (-3,1)∪(2,3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.函数f(x)=的值域是(　 ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:∵f(x)==1-,又x+1≠0,即≠0,∴f(x)≠1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12.已知函数f(2x-1)的定义域为(0,1),则函数f(1-3x)的定义域是 (　 ) A. B. C.(-1,1) D. 解析:因为函数f(2x-1)的定义域为(0,1),即x∈(0,1),所以-1<2x-1<1.所以函数f(x)的定义域为(-1,1).由-1<1-3x<1,得0<x<.所以函数f(1-3x)的定义域是.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.[x]表示不超过x的最大整数,例如[-1.1]=-2,[2.1]=2.则函数y=的值域为　　　　.  解析:因为=1+, 又x2+1∈[1,+∞),所以y=1+∈(1,4], 故∈{1,2,3,4}. {1,2,3,4} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求f(0)和f(1)的值; 解:令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0, 令x=y=1则f(1)=2f(1),∴f(1)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值. 解:令x=2,y=3,则f(6)=f(2)+f(3)=a+b, 令x=y=6,则f(36)=2f(6)=2(a+b), ∴f(36)=2a+2b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1)?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:存在.理由如下: f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的对称轴为x=1,顶点(1,1)且开口向上. ∵m>1,∴当x∈[1,m]时,y随x的增大而增大, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1,m], 则有 ∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0, ∴m=3或m=1(舍去),∴存在实数m=3满足条件. $$