第2章 1 生活中的变量关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

第二章 函 数 §1 生活中的变量关系 (教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学) 课时目标 1.在实际问题中找出变量之间的对应关系,深刻理解函数的概念. 2.了解依赖关系与函数关系的区别及联系,理解分段函数的概念. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　依赖关系与函数关系 逐点清(二)　变量间关系的表示及应用 逐点清(三)　分段函数 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　依赖关系与函数关系 01 多维理解 1.依赖关系与函数关系的概念 依赖 关系 一个变量的变化引起与之相关的另______变量的变化,这时称这两个变量之间具有__________ 函数 关系 如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有_____________和它对应,那么y就是x的函数,其中x是_______ ,y是________.这时变量x与y就建立起了函数关系 一个 依赖关系 唯一确定的值 自变量 因变量 2.依赖关系与函数关系的区别 (1)依赖关系不一定是函数关系,函数关系是特殊的依赖关系.判断两个有依赖关系的变量之间是不是函数关系的方法:首先,确定因变量和自变量;其次,判断对于自变量的每一个确定值,因变量是否有唯一确定的值与之对应,若满足则是函数关系,否则不是函数关系. (2)研究函数关系时,通常要指明自变量和因变量,因为二者交换位置后可能会成为另一个函数关系,也可能不存在函数关系. 1.在圆的周长公式C=2πR中,常量和变量分别是 (　 ) A.2是常量,C,π,R是变量 B.2π是常量,C,R是变量 C.C,2是常量,R是变量 D.2是常量,C,R是变量 解析:在圆的周长公式C=2πR中,C与R是改变的,2π是不变的,所以变量是C,R,常量是2π. 微点练明 √ 2.俗语“名师出高徒”说明 (　 ) A.名师与高徒之间具有依赖关系 B.名师与高徒之间具有函数关系 C.名师是高徒的函数 D.高徒是名师的函数 √ 3.(多选)下列两个变量之间的关系是函数关系的是 (　 ) A.多边形的边数和它的内角和 B.正方形的边长和面积 C.球的体积和半径 D.人的体重和身高 √ √ √ 4.某公司生产某种产品的成本为1 000元/件,以1 100元/件的价格批发出去(假设生产的产品全部可以批发出去),随着生产产品数量的增加,公司收入　　　　,公司收入与产品数量之间是　　　　关系.  解析:由题意可知随着生产产品数量的增加,因为产品全部可以批发出去,所以公司收入会增加;又因为每件产品的利润是100元,故对于产品数量的每一个值,公司收入都有唯一确定的值与之对应,因此公司收入与产品数量之间是函数关系. 增加　 函数 逐点清(二)　 变量间关系的表示及应用 02 多维理解 (1)表达两变量关系的常用方法是图象法和列表法. (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据,充分挖掘图象以及数据、表格中包含的信息,从而将问题解决. 微点练明 1.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法错误的是 (　 ) A.这天15时的温度最高 B.这天3时的温度最低 C.这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D.这天21时的温度是30 ℃ √ 解析:横轴表示时间,纵轴表示温度,温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值:为15时,36 ℃,A正确;温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值为3时,22 ℃,B正确;这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减,即36-22=14 ℃,C错误;从图象看出,这天21时的温度是30 ℃,D正确,故选C. 2.(多选)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系. 根据图1,以下四个说法正确的是 (　 ) A.在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加 B.在整个跑道,最长的直线路程不超过0.6 km C.大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D.在图2的四条曲线(注:S为初始记录数据位置)中,曲线B最能符合赛车的运动轨迹 √ √ 解析:由图1知,在2.6 km到2.8 km之间,图象上升,故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间,赛车速度逐渐增加,故A正确;在整个跑道上,高速行驶时最长为(1.8,2.4) 之间,但直道加减速也有过程,故最长直线路程有可能超过0.6 km,故B不正确;最长直线路程应在1.4到1.8之间开始,故C不正确;由图1可知,跑道应有3个弯道,且两长一短,故D正确. 3.有研究表明,声速与气温有关,当气温变化时,声速也将随着变化.声速与气温关系的一些数据如下表所示. 气温/℃ … -20 -10 0 10 20 30 … 声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 … (1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量; 解:由题意,得气温变化时,声速也将随着变化,因此自变量是气温,因变量是声速. (2)当声速为342 m/s时,气温为多少? 解:根据题设中给出的数据表,知当声速为342 m/s时,气温为20 ℃. (3)根据表中数据判断,气温每升高10 ℃时,声速将增大(或减少)多少? 解:因为324-318=330-324=336-330=342-336=348-342=6,所以气温每升高10 ℃时,声速将增大6 m/s. 逐点清(三)　分段函数 03 多维理解 (1)一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象. 1.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是 (　 ) 微点练明 √ A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B.甲从家到公园的时间是30 min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x √ 解析:在A中,甲在公园休息的时间是10 min,所以只走了50 min,A错误;由题中图象知B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,D正确,故选B、D. 2.如图所示,是某辆汽车的行驶情况记录,根据图中数据回答下列问题. (1)汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟?期间的最大速度是多少?汽车有几个时间点的时速为20千米/小时? 解:根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象,可得该汽车共行驶了24-2=22分钟; 期间的最大速度为80千米/小时;有4个时间点车速为20千米/小时. (2)写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度v(千米/小时)与时间t(分钟)的函数关系式,并算出这段时间中,在多少分钟时的速度为20千米/小时. 解:在出发10分钟到18分钟这段时间中,速度与时间是一次函数关系,设v=kt+b(k≠0), 由图表中的数据,可得当t=10时,v=0,当t=18时,v=80,代入得解得 所以速度v(千米/小时)与时间t(分钟)的函数关系式为v=10t-100(其中10≤t≤18), 当v=20时,即20=10t-100,解得t=12,即出发12分钟时车速为20千米/小时. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 √ 1.女儿在异地给老家的爸妈打电话,电话费随着时间的变化而变化,在这个过程中,因变量是 (　 ) A.时间 B.电话费 C.女儿 D.以上均不对 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 √ 2.下列变量之间是函数关系的是 (　 ) A.某十字路口通过汽车的数量与时间的关系 B.家庭的食品支出与电视机价格之间的关系 C.高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系 D.某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:对于A,某十字路口通过汽车的数量与时间没有确定的关系,与其他自然因素也有关系,不是函数关系,故A错误;对于B,家庭的食品支出与电视机价格之间没有确定的关系,故B错误;对于C,高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间这两个变量存在依赖关系,且对于每一个时间的值,路程是唯一确定的,因此它们之间存在函数关系,且时间是自变量,路程是因变量,故C正确;对于D,同学期中考试的数学成绩与物理成绩没有必然的关系,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 3.一辆汽车在公路上正常行驶,其中有这样些量:①行驶的速度v;②汽车的重量y;③车上乘坐的人数x;④行驶的时间t.其中有函数的对应关系的两个量是 (　 ) A.t与v B.x与v C.v与y D.x与t 解析:公路上行驶的汽车,对于每个行驶的时间t,都有唯一的速度v与之对应,所以两个变量“时间t”与“速度v”之间是函数关系,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 4.某同学骑自行车上学,开始时匀速行驶,途中因红灯停留了一段时间,然后加快速度赶到了学校,下列各图中,符合这一过程的是 (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由于开始匀速行驶,所以离学校的距离匀速减少,中间一段停留,与学校距离没变,然后加速赶到学校,与学校的距离在同样的时间段内减少的越来越快,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.国内快递1 kg以内的包裹的邮资标准如下表. 运送距离x/km 0<x≤500 500<x≤1 000 1 000<x≤1 500 … 邮资y/元 5.00 6.00 7.00 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 如果某人在西安要寄0.8 kg的包裹到距西安1 200 km的某地,那么他应付的邮资是 (　 ) A.5.00元 B.6.00元 C.7.00元 D. 8.00元 解析:根据题意知x=1 200,∵1 000<1 200≤1 500,∴他应付的邮资为7.00元. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.星期天,小明从家出发出去散步,图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系,根据图象,下面的描述符合小明散步情况的是 (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 A.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报,就回家了 B.从家出发,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了 C.从家出发,散了一会儿步(没有停留),然后回家了 D.从家出发,散了一会儿步,就找同学去了,18 min后才回家 解析:水平线段表明小明离家的距离始终是300 m,然后离家距离达到500 m,故可能情况是小明从家出发后,到一个公共阅报栏,看了一会儿报后,继续向前走了一段,然后回家了. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 √ 7.我们知道,溶液的酸碱度由pH确定,当pH>7时,溶液呈碱性;当pH<7时,溶液呈酸性.若将给定的盐酸溶液加水稀释,则在下列图象中,能反映盐酸溶液的pH与所加水的体积V的变化关系的是 (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意知,pH随V的增大,先快后慢地增大,但不会超过7,比较四个选项可知A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.从市场中了解到,饰品K金的含金量如下表: K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5   K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量% 50 41.66 37.5 33.34 25 饰品K金的K数与含金量之间是　　　关系,K数越大,含金量　　　.  函数　 越高 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.某公司生产某种产品的成本为1 000元,以1 100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入　　　　,它们之间是　　　　关系.  增加 　函数 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.已知分段函数y=当x=-1时,函数值y=　　.  解析:因为x=-1<0,所以y=-x=-(-1)=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)某桶装水经营部每天的房租、工人工资等固定支出为200元,每桶水的成本价为5元,销售单价与每日销售量的关系如下表,根据表中的数据,回答下列问题: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)销售单价与每日销售量之间有什么关系? 解:随着单价的提高,日销售量在减少,销售单价每提高1元,日销售量减少40桶,销售单价与日销售量之间为函数关系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)单价确定为多少时,可以获得最大利润?并求出最大利润. 解:设销售单价为x元,获得的利润为y元. 根据题意得y=(x-5)(-40x+720)-200,其中x≥5,即y=-40x2+920x-3 800=-40+1 490,当x=时,ymax=1 490.故单价确定为元时,可以获得最大利润,为1 490元. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)向平静的湖面投一块石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆. (1)在这个变化过程中,有哪些变量? 解:形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若圆的面积用S表示,半径用R表示,则S与R的关系式是什么?它们是常量还是变量? 解:圆的面积S与半径R存在着依赖关系,对于半径R的每一个取值,都有唯一的面积S与之对应,所以圆的面积S是半径R的函数,其函数关系式是S=πR2.圆的面积S、半径R都是变量. (3)若圆的周长用C表示,半径用R表示,则C与R的关系式是什么? 解:C=2πR. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)某城市出租车收费标准如下:里程不超过3公里按起步价7元收费,超过3公里的按每公里1.5元加收,乘客乘车后出租车行驶的路程为x公里,乘客该付的车费为y元. (1)当0<x≤3时,x与y分别是什么量?x与y之间的关系是否为函数关系? 解:当0<x≤3时,x可变,y=7不变,所以x是变量,y是常量. 在0<x≤3范围内,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,所以x与y之间的关系是函数关系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)当x>3时,x与y分别是什么量?x与y之间的关系是否为函数关系? 解:当x>3时,x与y都是可变的量,所以x与y都是变量,并且对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,所以x与y之间的关系是函数关系. $$