第1章 4.1 一元二次函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

4.1 一元二次函数 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.理解函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系. 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　一元二次函数的图象及变换 逐点清(二) 求一元二次函数的解析式 逐点清(三)　求数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　 一元二次函数的图象及变换 01 多维理解 1.一元二次函数的定义 一般地,把形如__________________ (a,b,c是常数)的函数叫作一元二次函数,其中a,b,c分别称为____________、一次项系数和________.通常把一元二次函数的图象叫作________. y=ax2+bx+c(a≠0) 二次项系数 常数项 抛物线 2.一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 的实数根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 续表 3.一元二次函数的图象变换 一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移____个单位长度,再向上(或向下)平移____个单位长度而得到. |h| |k| |微|点|助|解| 　 任意一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可转化为y=a(x+h)2+k的形式,都可由y=ax2的图象经过适当的平移得到,具体平移方法如图所示: 上述平移规律:“h值正、负,左、右移”,即“加时左移,减时右移”;“k值正、负,上、下移”,即“加时上移,减时下移”. 1.函数y=2x(3-x)的图象可能是 (　 ) 微点练明 解析:由2x(3-x)=0得x=0或x=3,可知图象与x轴的交点为(0,0),(3,0),排除A、C.又y=2x(3-x)=-2x2+6x,所以图象开口向下,故排除D. √ 2.把函数y=x2的图象向下平移1个单位长度,将得到的函数图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到的函数解析式为 (　 ) A.y=2x2-1 B.y=2x2-2 C.y=2x2+1 D.y=2x2+2 解析:y=x2→y=x2-1→y=2(x2-1)=2x2-2. √ 3.在同一坐标系中作出下列函数的图象. (1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象. 解:列表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y=x2-2 7 2 -1 -2 -1 2 7 y=2x2-4x 30 16 6 0 -2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象,如图所示. 由图象可知由y=x2到y=2x2-4x(即y=2(x-1)2-2)的变化过程如下. 法一:先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后把y=(x-1)2的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2(x-1)2的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的图象. 法二:先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后把y=(x-1)2-1的图象横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象. 逐点清(二)　 求一元二次函数的解析式 02 一元二次函数的解析式的三种不同形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). [例1]　已知一元二次函数的最大值是8,且当x=2时,y=-1;当x=-1时,y=-1.求此一元二次函数的解析式. 解:法一:利用一般式 设y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7. 法二:利用顶点式 设y=a(x-m)2+n. ∵当x=2时,y=-1,且x=-1时,y=-1. ∴抛物线的对称轴为x==. ∴m=.又根据题意知函数有最大值8, ∴n=8. ∴y=a+8.又抛物线过点(2,-1), ∴a+8=-1,解得a=-4, ∴y=-4+8=-4x2+4x+7. |思|维|建|模| 　　求一元二次函数解析式的方法,应根据已知条件的特点,选用解析式的形式,利用待定系数法求解. (1)若已知条件是图象上的三个点,则设所求一元二次函数为一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的形式. (2)若已知一元二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设所求一元二次函数为顶点式y=a(x-h)2+k(其中顶点(h,k),a为常数,a≠0). (3)若已知一元二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),则设所求一元二次函数为两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a为常数,且a≠0). 针对训练 1.根据下列条件,求一元二次函数的解析式: (1)过点(1,1),(0,2),(3,5); 解:设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 由题设知⇒ ∴函数的解析式为y=x2-2x+2. (2)图象顶点为(1,2)并且过点(0,4); 解:设所求函数解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0). 整理得y=ax2-2ax+a+2,∴a+2=4,∴a=2. ∴函数的解析式为y=2x2-4x+4. (3)图象过点(2,0),(4,0),(0,3). 解:设所求函数解析式为y=a(x-2)(x-4)(a≠0), 整理得y=ax2-6ax+8a,∴8a=3,∴a=. ∴函数的解析式为y=x2-x+3. 逐点清(三)　一元二次函数的性质 03 一元二次函数的图象与性质 函数 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向___,并向上无限延伸 抛物线开口向___,并向下无限延伸 对称轴是x=h;顶点坐标是_____ 在区间(-∞,h]上函数值y随x的增大而减小,在区间[h,+∞)上函数值y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上函数值y随x的增大而增大,在区间[h,+∞)上函数值y随x的增大而减小 抛物线有最低点,当x=h时,y有最小值,ymin=___ 抛物线有最高点,当x=h时,y有最大值,ymax=___ 上 下 (h,k) k k 续表 [例2]　已知函数y=x2-3x-. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值; 解:配方,得 y=x2-3x-=(x-3)2-, 所以函数图象的顶点坐标为, 对称轴方程为x=3,最小值为-,无最大值. (2)若x∈[1,4],求函数值的取值范围. 解:由于3∈[1,4],所以函数值在区间[1,3]上随x的增大而减小,在区间[3,4]上随x的增大而增大, 所以当x=3时,ymin=-, 当x=1时,ymax=×4-=-, 所以x∈[1,4]时,函数值的取值范围为. |思|维|建|模| 　　二次函数最值问题的解法 　　抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合对称轴的位置,根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成. 针对训练 2.已知一元二次函数y=-2x2+4x+3,请回答下列问题: (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; 解:∵y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5, ∴该一元二次函数图象的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,5). (2)指出函数y=-2x2+4x+3的图象是由函数y=-2x2的图象经过怎样的变换得到的; 解:由(1)可知,将函数y=-2x2的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,即可得到函数y=-2x2+4x+3的图象. (3)求函数值的变化趋势及函数的最值. 解:由(1)知,函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,则可得在区间(-∞,1]上,函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[1,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小.故函数在x=1处取得最大值5,即ymax=5,无最小值. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是 (　 ) 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:当m>0时,函数y=mx+m函数值随x的增大而增大,且图象交y轴于正半轴,函数y=-mx2+2x+2的图象开口向下,对称轴在y轴右侧.当m<0时,函数y=mx+m函数值随x的增大而减小,且图象交y轴于负半轴,函数y=-mx2+2x+2的图象开口向上,对称轴在y轴左侧.满足上述条件的只有D选项. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.如果一元二次函数y=5x2+mx+4的对称轴是x=1,则当x=1时,y= (　 ) A.10 B.-10 C.-1 D.19 解析:由题意得对称轴为-=1,解得m=-10,则y=5x2-10x+4,所以当x=1时,y=5-10+4=-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.关于二次函数y=-2x2+1,下列说法正确的是 (　 ) A.它的图象开口方向是向上 B.当x<-1时,y随x的增大而增大 C.它的顶点坐标是(-2,1) D.当x=0时,y有最大值是2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵二次函数y=-2x2+1,a=-2,∴该函数图象开口向下,故选项A错误;当x<0时,y随x的增大而增大,故选项B正确;它的顶点坐标为(0,1),故选项C错误;当x=0时,y有最大值1,故选项D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.将y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为 (　 ) A.y=(x+2)2+1 B.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2-1 D.y=(x+2)2-1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)如图是一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象的对称轴为直线x=-1.则下面四个结论正确的是 (　 ) A.b2>4ac 　　　B.2a-b=1 C.a-b+c=0 　　　D.5a<b 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:易知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;函数图象的对称轴为直线x=-1,则-=-1,即2a-b=0,B错误;结合图象可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误;由函数图象的对称轴为直线x=-1知,b=2a,因为5>2,a<0,所以5a<2a,即5a<b,D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.已知函数y=2x2-mx+3在[-2,+∞)上y随x的增大而增大,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-8] B.(-∞,-3] C.[-2,+∞) D.[13,+∞) 解析:因为函数y=2x2-mx+3=2+3-在[-2,+∞)上y随x的增大而增大,则≤-2,解得m≤-8,所以实数m的取值范围是(-∞,-8]. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)若所求的一元二次函数图象与一元二次函数y=2x2-4x-1有相同的顶点,则所求一元二次函数可以为 (　 ) A.y=-x2+2x+4 B.y=-x2-2x-3 C.y=-5x2+10x-8 D.y=x2-2x-2 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3, y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5, y=-x2-2x-3=-(x+1)2-2, y=-5x2+10x-8=-5(x-1)2-3, y=x2-2x-2=(x-1)2-3, 所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知二次函数y=-(x+h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 (　 ) A.-3或-6 B.-1或-6 C.-1或-3 D.-4或-6 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当-h<2,即h>-2时,有-(2+h)2=-1,解得h1=-1,h2=-3(舍去);当2≤-h≤5,即-5≤h≤-2时,函数有最大值,为0,不符合题意;当-h>5,即h<-5时,有-(5+h)2= -1,解得h3=-4(舍去),h4=-6.综上所述,h的值为-1或-6. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 (　 ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 解析:∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=-1,而点C(2,y3)离直线x=-1的距离最远,点A(-2,y1)离直线x=-1最近,∴y1<y2<y3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 10.函数y=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则实数m的取值范围是　　　.  解析:y=x2-4x+5=(x-2)2+1,在[0,+∞)上的图象如图, 由题意得2≤m≤4. [2,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.当a-1≤x≤a时,二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则a的值为　　　　.  解析:当y=8时,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.∵当a-1≤x≤a时,函数有最小值8,∴a-1=5或a=-1,∴a=6或a=-1. 16 -1或6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知函数y=(m2-3m)是二次函数,则m=　　　　,此时函数的最大值为　　　　.  解析:由题意得∴ ∴m=2,此时y=-2x2,函数的最大值为0. 16 2 　0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.一元二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式是　　 .  解析:依题意可设y=a(x-2)2-1(a>0), 又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,∴a=. ∴y=(x-2)2-1=x2-2x+1. 16 y=x2-2x+1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m). (1)求抛物线的解析式; 解:由题意得,点A(1,m)在直线y=-3x上, ∴m=-3×1=-3.把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,求得a=-1. ∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象. 解:∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,∴顶点坐标为(3,1). ∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度后得到y=-x2+1的图象,再把y=-x2+1的图象向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两 点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. 解:把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=-x2+mx+3,得0=-32+3m+3,解得m=2,所以y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以顶点坐标为(1,4). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标. 解:点P是抛物线对称轴l上的一个动点,则PA=PB, 连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC的值最 小,设直线BC的解析式为y=kx+b,由抛物线方程易得点 C(0,3),又点B(3,0),所以解得所以 直线BC的解析式为y=-x+3,当x=1时,y=-1+3=2,所以当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(13分)求函数y=-x(x-a)在[-1,1]上的最大值. 解:函数y=-+图象的对称轴方程为x=,应分<-1,-1≤≤1,>1, 即a<-2,-2≤a≤2和a>2这三种情形讨论. ①当a<-2时,函数大致图象如图1所示, 由图可知ymax=-a-1; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ②当-2≤a≤2时,函数大致图象如图2所示, 由图可知ymax=; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ③当a>2时,函数大致图象如图3所示, 由图可知ymax=a-1. 综上,当a<-2时, 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ymax=-a-1, 当-2≤a≤2时,ymax=, 当a>2时,ymax=a-1. 16 $$