1.4.1一元二次函数（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次函数值域求法及带参数分类讨论，通过回顾高斯、韦达等数学家相关的函数表达式与性质，搭建旧知到新知的学习支架，衔接配方法、图像法等核心方法。 亮点在于以“典例引路+同步练习”结合数学家故事，渗透数学思维中的推理与运算能力，如带参数函数分类讨论及实际应用问题（二氧化碳处理、银行利率）体现模型观念。采用分层教学，学生提升问题解决能力，教师可高效落实重难点。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 4.1 一元二次函数 第2课时（共2课时） 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、掌握求一元二次函数值域的方法。 2、会对带参数的一元二次函数进行分类讨论。 1、掌握求一元二次函数值域的方法。 1、对带参数的一元二次函数进行分类讨论。 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、一元二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：________________________ （2）顶点式：________________________ （3）两点式：________________________ y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 2、一元二次函数的图像叫作__________________ 抛物线 新 知 引 入 y=ax2+bx+c 图像 定义域 值域 最值 对称性 增减性 a＞0 a＜0 韦 达 一元二次函数的性质 R R [ ,+∞) (-∞, 当x=- 时，ymin= 当x=- 时，ymax= 关于直线x=- 对称 关于直线x=- 对称 在(-∞,- ]上递减 在[- ,+∞)上递增 在(-∞,- ]上递增 在[- ,+∞)上递减 新 知 引 入 布 丰 本节课我们重点来研究一下 一元二次函数的值域问题。 新 知 引 入 伯努利 求值域或者最值时一定要看定义域！！！ 典 例 引 路 集合论之父——康托 配方法（定义域为R时） 例1、求二次函数的最小值，并求出对应的的值. 解：， ∵(x+2)2≥0 ∴(x+2)2+1≥1 即y≥1 所以二次函数的最小值是1，对应的的值为-2. 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值. (1)y=2x2-4x-3; (2)y=-5x2-20x-26. 解：配方得y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5 所以该函数图象开口向上,对称轴为直线x=1; ∵(x-1)2≥0,∴2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2-5≥-5,即y≥-5 ∴最小值为ymin=-5 解：配方得y=-5x2-20x-26=-5(x+2)2-6, 所以该函数图象开口向下,对称轴为直线x=-2; ∵(x+2)2≥0,∴-5(x+2)2≤0,∴-5(x+2)2-6≤-6,即y≤-6 ∴最大值为ymax=-6. 典 例 引 路 柯 西 配方法（定义域不是R时） 例2、函数，[0，3]的最大值是　　　　，最小值是　　　　. 解：∵， ∵， ∴ ∴ 0≤(x-1)2≤4 ∴ -1≤(x-1)2-1≤3 即-1≤y≤3 ∴ ，. 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函数f(x)的最值. 解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8 ∵3≤x≤4 ∴1≤x-2≤2 ∴1≤(x-2)2≤4 ∴-7≤(x-2)2-8≤-4 即-7≤y≤-4 ∴ymin=-7,此时(x-2)2-8=-7，即x=3 ymax=-4,此时(x-2)2-8=-4，即x=4 典 例 引 路 牛 顿 图像法（定义域为R时） 例3、画出二次函数y＝－3x2－6x＋1的图象，并求最大值(或最小值)。 解：抛物线开口向下 对称轴为x=-1 与y轴的交点为(0,1) 与x轴的交点为(,0),(,0) 顶点为（-1,4） 用描点法画出图像，可知ymax=f(-1)=4,无最小值。 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知二次函数y＝x2－2x-3，求y的最值． 解：抛物线开口向上， 对称轴为x=1 与y轴的交点为（0,-3） 与x轴的交点为（-1，0），（3,0） 顶点坐标为（1，-4） 用描点法画出函数的图像 可知ymin=f(1)=-4，无最大值。 -1 1 -4 3 -3 典 例 引 路 狄利克雷 图像法（定义域不是R时） 例4、函数y =在区间[0 ， 3] 上的最大值是_________，最小值是______ 解:抛物线开口向下，对称轴是 在区间[0，3]内的图像如图所示 ∴ 最大值， 最小值 同 步 练 习 庞加莱 练4、已知二次函数y＝x2－2x-3，当x∈[－2,2]时，求y的最值． 解：∵y＝x2－2x-3＝(x－1)2-4， 其对称轴为x＝1，开口向上． 在区间[－2,2]上的图像如图所示 ∴ 最大值， 最小值 -1 1 -4 3 -3 -2 2 典 例 引 路 皮 亚 诺 带参数的二次函数值域问题 例5、求函数，[-1，1]的最小值. 解：的图象开口向上，且对称轴为直线. 当时，最小值在1处取得，为； 当时，最小值在处取得，为； 当时，最小值在处取得，为. 综上，当时，； 当时，； 当时，. 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、函数y =在区间[ ， ] 上的最小值 解：抛物线开口向上，对称轴是. 当时， 函数单调递增 ∴ymin=f(t) =(t-1)2+1 当时 函数先减后增 ∴ymin=f(1) =1 当时 函数单调递减 ymin=f(t+1) =t2+1 ∴ymin= 典 例 引 路 华罗庚 例5、函数在区间[0，]上的最大值为5，最小值为1，则实数的取值范围是(　　). A.[2，+∞) B.[0，2] C.(-∞，2] D.[2，4] 由二次函数的值域求参数范围 解：函数 在[0，+∞)上的图象如图所示， 由题意得. D 同 步 练 习 洛必达 练5、已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间[0, 2]上有最小值 3, 求实数 a 的值. 解: 由已知 f(x)=4(x -)2 - 2a+2. ∵f(x)在区间[0, 2]上的最小值为 3, ∴可分情况讨论如下: (1)当≤0,即 a≤0 时,函数 f(x) 在[0, 2]上是增函数. ∴ f(x)min=f(0)=a2-2a+2.由 a2-2a+2=3 得: a=1,∵a≤0, ∴a=1-. (2)当 0<<2,即 0<a<4 时,f(x)min=f()=-2a+2.由-2a+2=3 得:a= - (舍去） (3)当≥2, 即 a≥4 时, 函数 f(x) 在[0, 2]上是减函数. ∴ f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由 a2-10a+18=3 得: a=5. ∴a=5+. 综上所述, a=1-或 a=5+. 典 例 引 路 傅里叶 例6、某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损? 解：设该单位每月获利为元， 则 ，，， 当时，. 所以该单位每月不能获利，需要国家每月至少补贴35000元才能不亏损. 同 步 练 习 佩雷尔曼 练6、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去. (1)若存款利率为，(0，4.8%)，试写出存款量及银行应支付给储户的利息与存款利率之间的关系式； (2)问：存款利率为多少时，银行可获得最大收益? 解：(1)由题意知，存款量， 银行应该支付的利息，(0，0.048). (2)设银行可获得的收益为，则 ， 当时，有最大值. 所以存款利率定为2.4%时，银行可获得最大收益. 全 课 总 结 一、一元二次函数求值域的方法： （1）配方法 （2）图像法 二、分类讨论思想 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学