第1章 2.2 第2课时 全称量词与存在量词的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

全称量词与存在量词的综合问题　(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系,能正确地判断含有一个量词的命题的真假. 2.能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用 课时跟踪检测 题型(一)　全称量词命题和存在量词命题的真假判断 01 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N, 2x+1是奇数; 解:是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)存在一个x∈R,使=0; 解:是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题. (3)对任意实数a,|a|>0; 解:是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)有一个角α,使sin α=. 解:是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题. |思|维|建|模| 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”. (2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题. 1.写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)∀x∈R,x2>0; 解:命题的否定:∃x∈R,使x2≤0,因为x=0时,02=0,所以命题的否定为真. (2)∃x∈R,x2=1; 解:命题的否定:∀x∈R,x2≠1, 因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假. 针对训练 (3)∃x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根; 解:命题的否定:∀x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根,因为x=1时, 12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假. (4)等腰梯形的对角线垂直. 解:命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直,所以命题的否定是真命题. 题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用 02 [例2]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围. 解:命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是[1,+∞). 变式拓展 若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围. 解:由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是(-∞,1). |思|维|建|模| 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. 针对训练 2.已知命题p:“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　 　.  解析:∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5. (-∞,5] 3.已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,求实数a的取值范围. 解:因为p的否定是假命题,所以p是真命题, 又∀x∈{x|-3≤x≤2}, 都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}, 所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}, 则解得-3≤a≤1. 即实数a的取值范围是[-3,1]. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1．命题p：存在一个实数，它的绝对值不是正数．则下列结论正确的是(　 ) A．綈p：任意实数，它的绝对值是正数，綈p为假命题 B．綈p：任意实数，它的绝对值不是正数，綈p为假命题 C．綈p：存在一个实数，它的绝对值是正数，綈p为真命题 D．綈p：存在一个实数，它的绝对值是负数，綈p为真命题 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析: 因为命题p“存在一个实数，它的绝对值不是正数”为存在量词命题，綈p为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为|0|＝0，所以綈p为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 (　 ) A.实数都大于0 　B.有些菱形是正方形 C.三角形内角和为180° 　D.有小于1的自然数 解析:实数都大于0,是全称量词命题,但不是真命题,所以A选项错误;有些菱形是正方形,是真命题,但不是全称量词命题,所以B选项错误;三角形内角和为180°,是真命题,也是全称量词命题,所以C选项正确;有小于1的自然数,是真命题,但不是全称量词命题,所以D选项错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.已知命题p：∃x，y∈Z,2x＋4y＝3，则(　 ) A．p是假命题，綈p：∀x，y∈Z,2x＋4y≠3 B．p是假命题，綈p：∃x，y∈Z,2x＋4y≠3 C．p是真命题，綈p：∀x，y∈Z,2x＋4y≠3 D．p是真命题，綈p：∃x，y∈Z,2x＋4y≠3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以綈p：“∀x，y∈Z,2x＋4y≠3”． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,4] B.(-∞,4) C.(-∞,-4) D.[-4,+∞) 解析:命题“∀x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,∴“∃x0∈R,-4x0+a=0”是真命题,∴方程x2-4x+a=0有实数根,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知命题p:“∃x∈R,使得x2-2x+m=0成立”是真命题,则实数m的取值范围是(　 ) A.{m|m<3} B.{m|m>3} C.{m|m≤3} D.{m|m≥3} 解析:∃x∈R,使得x2-2x+m=0成立⇔Δ=12-4m≥0,∴m≤3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.命题“已知y=|x|-1,∀x∈R都有m≤y”是真命题,则实数m的取值范围是　　 　　.  解析:由已知y=|x|-1,得y≥-1,要使∀x∈R,都有m≤y成立,只需m≤-1. {m|m≤-1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.能够说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为　 .  解析:∵x∈N*,将x代入1,2,3,…可知,当x=3时,23<32,∴说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(8分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假. (1)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解. 解:该命题是全称量词命题. 当a=0,b=0时方程有无数解,故该命题为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)存在实数x,使x2-2x+3=. 解:该命题是存在量词命题. ∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, ∴不存在实数x,使x2-2x+3=, 故该命题是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知命题“∀x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围. 解:题中的命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“∃x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根. 所以a=0或即a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 10.下列命题正确的是(　 ) A.对所有的正实数t,有<t B.存在实数x,使x2-3x-4=0 C.不存在实数x,使x<4且x2+5x-24=0 D.对任意实数x,都有|x+1|≤1且x2>4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当t=时,>t,所以A选项错误;由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x=-1或x=4时,x2-3x-4=0,故B选项正确;由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错误;当x=0时,x2=0<4,所以D选项错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.有四张卡片,它们的一面为数字,另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上,只能看到向上面的情况如图.对于命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,要验证p的真假,至少要翻开的是 (　 ) A.①④ B.①② C.①③ D.①③④ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:根据命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,因为①的向上面为大写字母,④的背面可能是大写字母,所以要验证p的真假,至少要翻开的是①④. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知命题p:“∃x≥3,2x-1<m”是假命题,则实数m的最大值是　　.  解析:∵命题p“∃x≥3,2x-1<m”是假命题,∴“∀x≥3,2x-1≥m”是真命题,故m≤5,∴m的最大值是5. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致?　　.(填“是”“否”中的一个)  是 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+m>0”,而命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知集合A={x|-3≤x≤10},B={x|2m+1≤x≤3m-2},且B≠∅. (1)若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围; 解:由命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,可知B⊆A,又B≠∅,所以解得3≤m≤4.故m的取值范围是[3,4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围. 解: 因为B≠∅,所以2m+1≤3m-2,得m≥3. 因为命题q:“∃x∈A,x∈B”是真命题,所以A∩B≠∅,所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10,得-2≤m≤.综上,m的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)是否存在整数m,使得命题“∀x∈,-5<3-4m<x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:假设存在整数m,使得命题“∀x∈,-5<3-4m<x+1”是真命题. 因为当x≥-时,x+1≥, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以-5<3-4m<,解得<m<2. 又m为整数,所以m=1, 故存在整数m=1, 使得命题“∀x∈,-5<3-4m<x+1”是真命题. $$