第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

2.1 必要条件与充分条件 必要条件与充分条件、充要条件 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　必要条件 逐点清(二)　充分条件 逐点清(三)　充要条件 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　必要条件 01 多维理解 1.命题的概念及结构形式 可以判断_____,用____________表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的______,q是命题的______.当命题“若p,则q”是真命题时,就说__________,记作______. 真假 文字或符号 条件 结论 由p推出q p⇒q 2.必要条件 一般地,当命题“若p,则q”是____命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是______的. 3.性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_____条件. 真 必要 必要 |微|点|助|解| 　 (1)前提p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”. (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. 1.下列命题是真命题的是 (　 ) A.若xy=1,则x,y互为倒数 B.平面内,四条边相等的四边形是正方形 C.平行四边形是梯形 D.若ac3>bc3,则a>b 微点练明 √ 解析:对于A,由倒数定义知:若xy=1,则x,y互为倒数,真命题;对于B,平面内,四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,假命题;对于C,平行四边形两组对边互相平行,梯形只有一组对边互相平行,故平行四边形不是梯形,假命题;对于D,当c3<0时,有a<b,假命题. 2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 (　 ) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0 √ √ √ 解析:A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意. 3.用必要条件的语言表述下面的性质: (1)若A=∅,则A⊆B; 解:A⊆B是A=∅的必要条件; (2)正方形的对角线互相垂直且相等; 解:四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件; (3)两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么同位角相等. 解:两条直线被第三条直线所截,同位角相等是两条直线平行的必要条件. 逐点清(二)　充分条件 02 多维理解 1.充分条件 一般地,“若p,则q”为真命题时,称p是q的______条件. 2.判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_____条件. 3.必要条件与充分条件 对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的____条件,也称p是q的____条件. 充分 充分 必要 充分 |微|点|助|解| 　 (1)叙述充分、必要条件时,注意p和q的前后顺序. (2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. 微点练明 1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 (　 ) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 √ 解析:四边形的对角线相等且平分才是矩形,故A错误;四边形的两组对边分别相等为平行四边形,故B错误;四边形有三个内角为直角才是矩形,故C错误;四边形两组对边分别平行则为平行四边形,则相邻两角互补,又有一组对角互补,故相邻两角相等,又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角,故该平行四边形是矩形,故D正确. 2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若|x|≠1,则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 √ √ √ 解析:由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意. 3.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a,b为无理数,则ab为无理数; 解:,2为无理数,但×2=4,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件. (2)在△ABC中,若A>B,则BC>AC; 解:由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0. 解:因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件. 逐点清(三)　充要条件 03 多维理解 1.一般地,如果_____,且_____,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的_____条件,记作______.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”. 2.条件与结论的等价性:当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. p⇒q q⇒p 充要 p⇔q |微|点|助|解| 　 (1)分类: ①p⇒q,q不能推出p⇔p是q的充分不必要条件; ②q⇒p,p不能推出q⇔p是q的必要不充分条件; ③p⇒q且q⇒p⇔p是q的充要条件; ④p不能推出q且q不能推出p⇔p是q的既不充分也不必要条件. (2)传递性: ①p⇒q,q⇒s则p⇒s,即p是s的充分条件; ②q⇒p,s⇒q则s⇒p,即p是s的必要条件; ③p⇔q,q⇔s则p⇔s,即p是s的充要条件. 微点练明 1.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 3.指出下列各题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; 解:∵p⇒q,q不能推出p, ∴p是q的充分不必要条件. (2)p:m<0,q:一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有一正根和一负根; 解:记一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2, 则x1x2=m,∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0,x1x2<0⇔m<0, 故p是q的充要条件. (3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; 解:∵p不能推出q,q⇒p, ∴p是q的必要不充分条件. (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. 解:∵ab=0时,|ab|=ab, ∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”, 即p不能推出q. 而当ab>0时,有|ab|=ab,即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.若p是q的充分条件,则q是p的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.不充分条件 D.不必要条件 解析:因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.“|x|=1”是“x2=1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由|x|=1可得x=±1,由x2=1可得x=±1,所以“|x|=1”是“x2=1”的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3.“x<0”是“|x|=-x”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因|x|=-x⇔x≤0,由“x<0”可得“x≤0”,即“x<0”是“|x|=-x”的充分条件;而由“x≤0”显然不能得到“x<0”,即“x<0”不是“|x|=-x”的必要条件.所以“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.荀子曰:“故不积硅步,无以至千里;不积小流,无以成江海”,这句话是来自先秦时期的名言,此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由已知设“积跬步”为命题p,“至千里”为命题q,“故不积跬步,无以至千里”,即“若 p,则 q”为真命题.其逆否命题为“若q,则p”为真命题,反之不成立,所以命题p是命题q的必要不充分条件,故“积跬步”一定是“至千里的必要条件”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.(多选)下列各选项中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.p:a是无理数,q:a2是无理数 B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等 C.p:x>2,q:x≥1 D.p:a>b,q:ac2>bc2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:A中,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;C中,x>2⇒x≥1,所以p是q的充分条件;D中,当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.下列p是q的必要条件的是 (　 ) A.p:a=1,q:|a|=1 B.p:a>1,q:|a|>1 C.p:a<b,q:a<b+1 D.p:a>b,q:a>b+1 解析:题意知,需q⇒p.对于A,|a|=1,则a=±1,不能判断a=1;对于B,|a|>1,则a>1或a<-1 不能判断a>1;对于C,a<b+1⇒a-b<1,不能判断a-b<0;对于D,a>b+1⇒a-b>1⇒a-b>0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的 (　 ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由a2+b2+c2=ab+bc+ac,得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0,即(a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,所以“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的必要不充分条件.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若x,y∈R,则“x=y”是“x2+y2≤2xy”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当x=y时,x2+y2=2x2=2x·x=2xy,所以x2+y2≤2xy成立,又当x2+y2 ≤2xy时,即x2+y2-2xy=(x-y)2≤0,得到x=y,所以x2+y2≤2xy可以得到x=y,所以“x=y”是“x2+y2≤2xy”的充要条件.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.从符号“⇒”“ ”“⇔”中选择适当的一个填空: (1)x2>1　　　　x>1;  (2)a,b都是偶数　　　　a+b是偶数;  (3)n是偶数　　　　n是4的倍数.  ⇒ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.“x2=2x”是“x=0”的　　　　条件,“x=0”是“x2=2x”的______条件(用“充分”“必要”填空).  解析:由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 必要 充分 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.在△ABC中,p:△ABC为钝角三角形,q:∠A>90°,则命题p是q的_____　　　　条件.(填“必要”或“充分”)  解析:∠A>90°⇒△ABC为钝角三角形,则p是q的必要条件. 必要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的　　条件.  解析:由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A⊆B,则(A∪B)=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 充要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)已知x∈R,p:x>1,q:x>2; 解:法一:由x>1 x>2,所以p不是q的充分条件.反之,若x>2,则必有x>1,所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件. 法二:设集合A={x|x>1},B={x|x>2},则B A,所以p是q的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)p:a能被6整除,q:a能被3整除; 解:p:a能被6整除,故也能被3和2整除, q:a能被3整除,不一定能被6整除,故p是q的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等; 解:由题意,知p q,但q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. (4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA. 解:∵A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA, ∴p是q的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设A={a+b||a2-2b2|=1,a,b∈ Z},现有以下三个条件: 甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A. 求证:甲分别是乙和丙的充分条件. 证明:设x=a+b,y=c+d, 则|a2-2b2|=1,a,b∈ Z,|c2-2d2|=1,c,d∈Z, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad),显然ac+2bd,bc+ad∈Z, 因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2),a,b,c,d∈Z, 所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1,a,b,c,d∈Z,所以xy∈A. 所以甲是乙的充分条件. 因为===-·, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且|a2-2b2|=1,a,b∈Z, 所以若a2-2b2=1,则=a-b∈A; 若a2-2b2=-1,则=-a+b∈A. 所以甲是丙的充分条件. 综上,甲分别是乙和丙的充分条件. $$