第1章 1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）  

第一章 预备知识 1.1 集合的概念与表示 集合的概念　 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解集合的含义是学习集合的关键,理解元素与集合的关系. 2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题. 3.熟记常用数集的表示符号,通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　集合与元素的概念 逐点清(二)　集合与元素的关系 逐点清(三)　集合元素性质的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　集合与元素的概念 01 多维理解 1.集合与元素 集合 一般地,我们把指定的某些对象的_______称为集合,通常用大写英文字母__________表示 元素 集合中的__________叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母________表示 全体 A,B,C,… 每个对象 a,b,c,… |微|点|助|解| 　 对集合概念的理解 (1)“集合”是数学中的一个基本概念,同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念. (2)集合是一个“整体”,一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等. 2.集合中的元素必须满足的性质 确定性 一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 1.(多选)考察下列每组对象,能组成集合的是 (　 ) A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.唐宋散文八大家 微点练明 √ √ √ 解析:　A中“最美”标准不明确,不符合确定性,B、C、D中的元素标准明确,均可构成集合,故选B、C、D. 2.设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A,则A中元素个数为 (　 ) A.6 B.3 C.4 D.5 解析:由集合中元素的互异性可知,该集合中共有“我”“和”“的”“祖”“国”5个元素. √ 3.已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素,且7是A中的元素,则a3的值为 (　 ) A.0 B.1或-27 C.1 D.-27 解析:根据题意得a2+2a+4=7,整理得(a+3)(a-1)=0,解之得a=1或a=-3,则a3=1或a3=-27. √ 4.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根组成的集合为M,则M中的元素个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根分别是2,3和2,-1,又集合中的元素具有互异性,所以集合M中的元素个数为3个. √ 5.已知集合A中含有元素1,x,y,集合B中含有元素1,x2,2y,若A与B相等,则x-y=　　　　.  解析:设x=x2,y=2y,则x=0,y=0或x=1,y=0,不满足条件;设x=2y,y=x2,则x=0,y=0(舍去)或x=,y=(满足题意),所以x-y=. 逐点清(二)　集合与元素的关系 02 多维理解 1.集合与元素的关系 关系 概念 符号 读法 属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A _____________ ___________________ 不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A _____________ _______________________ a∈A a属于A a∉A a不属于A 2.常用的数集 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 记法 ________ _____________________ _________ _________ _________ R+ N N+或N* Z Q R |微|点|助|解| 　 (1)元素和集合是两个完全不同的概念,元素是集合中的某一对象,而集合是由所有的元素组成的. (2)由元素的确定性可知,对于任何a与A,a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. (3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换. (4)N是非负整数集(即自然数集),而N*与N+表示正整数集,N包括元素0,而N*与N+不包括元素0. 微点练明 1.若集合A含有两个元素0,1,则 (　 ) A.1∉A B.0∈A C.0∉A D.2∈A 解析:因为集合A含有两个元素0,1,所以0∈A,1∈A,故选B. √ 2.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则 (　 ) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 解析:由题意可知解得-4<a≤-2. √ 3.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 (　 ) A.3.14 B.-5 C. D. 解析:因为是实数,但不是有理数,所以选D. √ 4.(多选)已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是 (　 ) A.-2∈A B.-11∉A C.3k2-1∈A D.-34∉A 解析:令3k-1=-2,解得k=-,-∉Z,∴-2∉A;令3k-1=-11,解得k=-,-∉Z, ∴-11∉A;∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈Z,∴-34∈A. √ √ 5.用“∈”或“∉”填空: 　　　　N;-3　　　　Z;　　　　Q;-　　　R;　　　R+; 3.141 6　　　Q.  ∉　 ∈　 ∉　 ∈　 ∈　 ∈ 逐点清(三)　集合元素性质的应用 03 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值. 解:由题意,可知a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. 若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0. 变式拓展 1.本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 2.已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值. 解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,集合A有重复元素,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1. 当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1. |思|维|建|模|　由集合中的元素性质求参数的步骤 针对训练 已知集合A中含有三个元素,分别是a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1∈A,求实数a的值. 解:若a+2=1,则a=-1,此时A中元素是1,0,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 若(a+1)2=1,则a=0或a=-2, 当a=0时,A中元素是2,1,3,符合题意; 当a=-2时,A中元素是0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去. 若a2+3a+3=1, 则a=-1或a=-2(均舍去). 综上可知a=0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　 ) A.倒数等于它本身的数 B.某班视力较好的同学 C.所有有理数 D.小于π的正整数 16 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:根据集合的概念,可知集合中元素具有确定性,可得选项A、C、D中的元素都是确定的,故选项A、C、D能构成集合,但B选项中“视力较好”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合.故选A、C、D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.(多选)下列元素与集合的关系正确的是 (　 ) A.-1∈N B.0∉N* C.∈Q D.∈R 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 解析:本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 (　 ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选D　由集合中元素的互异性,知△ABC的三边长两两不等,故选D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是 (　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 解析:因为-1∈M,所以2×(-1)∈M,即-2∈M. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是 (　 ) A.1 B.-2 C.-1 D.2 解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2. 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是 (　 ) A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 解析:由于A中P、Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B、C、D中P、Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)下列四个语句正确的是 (　 ) A.集合N*中最小的数是1 B.若-a∉N,则a∈N C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2 D.x2+1=2x的解集中含有1个元素 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,因为N*是正整数集,最小的正整数是1,所以A正确; 对于B,取a=,则-∉N,∉N,所以B错误; 对于C,当a=b=0时,a+b取得最小值0,而不是2,所以C错误; 对于D,解集中只含有元素1,所以D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为 (　 ) A.2 B.2或4 C.4 D.0 解析:若a=2∈A,则6-a=4∈A;或a=4∈A,则6-a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是(　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 解析:当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合中,含有元素的个数最多为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵=|x|,-=-|x|,故当x=0时,这几个实数均为0; 当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x; 当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,x. 最多表示2个不同的数,故集合中的元素最多为2个.故选A. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合,则-1　　D,(-1,1)___D (填“∈”或“∉”).  解析:因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D,(-1,1)∈D. 16 ∉　 ∈ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a=　　,b=　　.  解析:因为集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A,所以1∈B,2∈B,即1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.所以所以 16 -3 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　.  解析:∵∈N,∴3-x=1或3-x=2或3-x=3或3-x=6,即x=2或x=1或x=0或x=-3.又x∈N,故x=0或x=1或x=2.即集合A中的元素为0,1,2. 16 0,1,2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知集合A含有两个元素m,m2-3m,其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数? 解:根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4,因此,实数m不能取0和4. (2)若4∈A,求实数m的值. 解:由(1)的结论,可知m≠4,若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意),因此,实数m的值是-1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)设集合S中的元素全是实数,且满足下面两个条件: ①1∉S;②若a∈S,则∈S. (1)求证:若a∈S,则1-∈S; 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:证明:因为1∉S,a∈S, 所以1-a≠0,且∈S, 可得==1-∈S, 故若a∈S,则1-∈S. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若2∈S,则在S中必含有其他的两个元素,试求出这两个元素. 解:由2∈S,得=-1∈S; 由-1∈S,得=∈S; 而当∈S时,=2∈S,…,因此当2∈S时,集合S中必含有-1,两个元素. 16 $$