精品解析：浙江省强基联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

浙江强基联盟2024年10月高一联考 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “是等腰三角形”是“是等边三角形”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 不等式对于任意恒成立，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A B. C. D. 7. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程只有一个实数根 B. 是方程有实数根的必要不充分条件 C. 该方程不可能有两个不等正根 D. 该方程不可能有两个不等负根 11. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，，若，则____________ ． 13. 已知，，则的取值范围为________． 14. 若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______. 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 解下列不等式（组）： （1）； （2）； （3）. 17. 为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. （1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； （2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 20. 设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. （1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； （2）证明：集合对于乘法封闭； （3）求所有对于乘法封闭的三元素集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2024年10月高一联考 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算即可求解. 【详解】由，，可得. 故选：A. 2. “是等腰三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为等腰三角形不一定是等边三角形，所以“是等腰三角形”推不出“是等边三角形”， 又等边三角形一定是等腰三角形，所以“是等边三角形”可以推出“是等腰三角形”， 所以“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由因式分解即可求解. 【详解】原不等式等价于，即. 故选：C. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 5. 不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成，即可求解. 【详解】因为不等式对于任意恒成立， 所以，即，解得. 故选：D. 6. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式及分式不等式的解法，求得集合和，结合图形，利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，得到，所以， 又，得到或， 由图可知阴影部分对应的集合是集合，又， 所以. 故选：D. 7. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A、B和D，根据条件，利用不等式的性质，逐一分析判断，即可求解；选项C，通过取特殊值，，，，得到，即可判断结果的正误. 【详解】对于选项A，由，可得，又，，所以，即，所以选项A错误， 对于选项B，由，，可得，所以，所以选项B错误， 对于选项C，取，，，，显然满足条件，但，所以选项C错误， 对于选项D，因为，得到，又，得到，所以选项D正确， 故选：D. 8. 若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解 详解】， 当且仅当，时取到最小值. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据元素和集合间关系判断各个选项. 【详解】集合为点集且都在直线上，故选项A错误，选项B正确； 由，，选项C、D正确. 故选：BCD. 10. 已知关于的方程，则（ ） A. 当时，方程只有一个实数根 B. 是方程有实数根的必要不充分条件 C. 该方程不可能有两个不等正根 D. 该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合一元二次方程根的情况，逐项分析即可. 【详解】对于A，时，方程只有一个实根，A正确； 对于B，方程有实数根，则，即，解得或， 因此是方程有实数根的充分不必要条件，B错误； 对于C，若方程二根为则，，不可能有两个不等正根，C正确； 对于D，当时，方程有2个不等负根，D错误. 故选：AC 11. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】原不等式等价于，分类讨论即可得出选项 【详解】原不等式等价于， 根据的正负讨论，当时，解集为，则成立； 当时解集中没有0，不合题意， 时，解集不可能为不合题意. 故. 故选:AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，，，若，则____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案. 【详解】，，，，， ，，，，； 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以 又，两式相加可得 故答案为： 14. 若方程有且仅有一个实数解，则实数取值集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成有一个不等于3的实数解，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】方程有且仅有一解等价于有一个不等于3实数解. 当时，解为，满足题意； 当，且只有一解时， 由，得到，解得， 又时，的解为，满足题意， 当时，且有两解时，由，解得， 综上，实数取值集合为. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列出不等式，即可求解； （2）根据，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 所以. 16. 解下列不等式（组）： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，开方即可； （2）原不等式转化成求解即可； （3）配方即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 故不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意得： 解得， 故不等式组的解集为； 【小问3详解】 由题意得：， 得：，无解 故不等式的解集为. 17. 为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. （1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； （2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 【答案】（1） （2）28人 【解析】 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）借助venn图即可求解. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设只玩的人数为， 由图得，解得， 则人. 故班上这三种游戏都不玩的同学有28人. 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】（1） （2）（i）米或米，平方米；（ii）变好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算面积列不等式解一元二次不等式即可； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【小问1详解】 设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，， 所以，又矩形面积，解得， 故的取值范围为. 【小问2详解】 （i）设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则. 因为，，所以. 又，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 19. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用二次函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，利用韦达定理得，，再根据题设有，从而得到，即可求解； （3）利用基本不等式得到，从而将问题转化成在恒成立，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. 【小问2详解】 设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. 【小问3详解】 因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. 20. 设数集满足：①；②任意且，有，则称数集对于乘法封闭. （1）判断集合是否对于乘法封闭，并说明理由； （2）证明：集合对于乘法封闭； （3）求所有对于乘法封闭的三元素集. 【答案】（1）是，不是；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据集合乘法封闭的定义可判断两个集合是否乘法封闭； （2）根据集合乘法封闭的定义可证对于乘法封闭； （3）对于三元素集，不失一般性，不妨设，根据乘法封闭的性质可判断只能取中的两个不同数，分类讨论后可求所有不同的三元素集. 【小问1详解】 对于集合， 当时，，所以集合对于乘法封闭； 对于集合，其元素均为整数，满足条件①， 又因为，满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 【小问2详解】 证明：对于集合， 因为任意，所以满足条件①； 又因为任意且，所以满足条件：②， 故集合对于乘法封闭 【小问3详解】 任意. 证明：对于三元素集，不失一般性，不妨设， 当时，，与三元素集矛盾，所以； 当时，，与三元素集矛盾，所以. 所以只能取中的两个不同数. 不妨设， 对于集合，因为其元素均为整数，所以满足条件①， 又因为，所以满足条件②， 所以集合对于乘法封闭. 对于集合，当时， 对于集合，当时， 综上，所有对于乘法封闭的三元素集. 【点睛】思路点睛：对于集合新定义问题，我们可以根据定义展开讨论，而对于集合存在性问题，有时为了便于讨论，可以假设元素的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $