5.1.1 第2课时 分层抽样（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）  

分层抽样 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性. 2.掌握各层样本量比例分配的方法. 3.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　分层抽样的概念 逐点清(二) 分层抽样中的相关计算 逐点清(三) 分层抽样的设计 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　分层抽样的概念 01 多维理解 一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成_____________、___________的几部分时,每一部分可称为_____,在各层中按层在总体中所占________进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样). 有明显差别的 互不重叠 层 比例 |微|点|助|解| (1)通过分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反映总体的特征. (2)分层抽样如何分层要视具体情况而定,总的原则是每层内样本的差异要尽可能小,而层与层之间的差异要尽可能大,且互不重叠,否则将失去分层的意义. (3)所有层都按同一抽取比例等可能抽取,以保证每个个体被等可能抽取. (4)根据实际情况,可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整. 1.简单随机抽样,分层抽样之间的共同点是 (　　) A.都是从总体中逐个抽取 B.将总体分成几个部分,按事先确定的规则在各部分抽取 C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的 D.将总体分成几层,然后分层按照比例抽取 微点练明 √ 解析:只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取,故A错误. 只有分层抽样是将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取,故B错误. 简单随机抽样、分层抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同,故C正确. 只有分层抽样是将总体分成几层,分层进行抽取,故D错误. 2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 (　　) A.分层随机抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,简单随机抽样 C.简单随机抽样,分层随机抽样 D.分层随机抽样,分层随机抽样 √ 解析:①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当; ②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当. 3.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本. 方法一:采用简单随机抽样的方法,将零件编号00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个. 方法二:采用分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题,下列说法正确的是(　　) ①不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是; ②采用不同的方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同; ③在上述两种抽样方法中,方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体特征; ④在上述抽样方法中,方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征. A.①② B.①③ C.①④ D.②③ √ 解析:根据两种抽样的特点知,不论哪种抽样,总体中每个个体入样的可能性都相等,都是=,故①正确,②错误; 由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),故方法二抽到的样本更有代表性,③正确,④错误. 4.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本,选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本,在简单随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p1,某个体第一次被抽中的概率为p2;在分层随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p3,则 (　　) A.p2<p1<p3 B.p1=p2=p3 C.p2<p1=p3 D.p1,p2,p3没有关系 解析:根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层随机抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3. √ 逐点清(二)　分层抽样中的 相关计算 02 多维理解 　　分层抽样中每层抽取的个体数的确定方法 (1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比,其中N为总体容量,n为样本容量;然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,ni为第i层应抽取的个体数. (2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk,样本容量为n时,每层抽取的个体数为ni=n×(i=1,2,…,k). 1.某中学有高中生1 800人,初中生1 200人,为了解学生课外锻炼情况,用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n= (　　) A.48 B.72 C.60 D.120 微点练明 √ 解析:由题意可知,分层抽样按照n∶3 000的比例进行抽取,则高中生抽取的人数为1 800×=;初中生抽取的人数为1 200×=.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,所以-=24,解得n=120,故选D. 2.(多选)某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2 400人、中部地区的学生有1 600人、西部地区的学生有1 000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有 (　　) A.用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人 B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合 C.西部地区学生小刘被选中的可能性为 D.中部地区学生小张被选中的可能性为 √ √ 解析:由题设可得东部地区、中部地区、西部地区的学生的抽样比为12∶8∶5,故抽取100人时东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×,100×,100×,即48,32,20,故A正确. 用简单随机抽样的方法从新生中选出人数为25n(n∈N+均合适,故B错误. 由分层抽样的性质可得无论哪一个地区的学生,被抽取到的概率均为=,故C正确,D错误. 3.某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众,报名的总人数为12 000,分别来自4个城区,其中东城区2 400人,西城区4 600人,南城区3 800人,北城区1 200人,从中抽取60人参加现场节目,采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众. ①确定抽样比,样本容量n=60,总体容量N=12 000,抽样比为=. ②分层,按城区分为四层:东城区、西城区、南城区、北城区. ③按比例确定每层抽取的个体数,在东城区抽取2 400×=12(人),在西城区抽取 4 600×=23(人),在南城区抽取3 800×=19(人),在北城区抽取1 200×=6(人). ④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本,将各城区抽取的观众合在一起组成样本. 正确的抽取步骤是　　　 　　.  ②①③④ 解析:按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④. 4.在100个人中,其中45人为女性,55人为男性,计划抽取20人测量身高.若按性别进行分层随机抽样,则应该抽取　　　　位男性测量身高.  解析:利用分层随机抽样的方法从100个人中抽取了20人测量身高,其中45人为女性,55人为男性,则每个人被抽到的概率为p==,设应该抽取n位男性,可得=,解得n=11,即应该抽取11位男性测量身高. 11 逐点清(三) 分层抽样的设计 03 [典例]　某中学举行了体育运动会,同时进行了全校精神文明擂台赛,为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别对全校500名教职工、3 000名初中生、4 000名高中生进行问卷调查. (1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估,请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论,并写出抽样过程. 解:由于总体容量较大,这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大,故采取分层抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论. 因为样本容量为120,总体容量为500+3 000+4 000=7 500, 所以抽取比例为=.所以500×=8,3 000×=48,4 000×=64, 即在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64. 分层抽样的步骤如下: ①分层:分为教职工、初中生、高中生,共三层; ②确定每层抽取个体的个数:在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64; ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取个体; ④综合每层抽取的个体,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评估结论. (2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应选什么方法?请说明理由. 解:简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法. 若用抽签法,则要做3 000个号签,费时费力,因此应采用随机数表法抽取样本. 　　|思|维|建|模|　分层抽样的步骤 针对训练 　一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法进行抽样?并写出具体过程. 解:采用分层抽样的方法,其原因在于疾病与地理位置和水土均有关系,不同乡镇的发病情况差异明显,具体过程如下: ①将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层; ②按照样本容量的比例,随机抽取各乡镇应抽取的样本. 300×=60(人),300×=40(人), 300×=100(人),300×=40(人), 300×=60(人); ③将300人组到一起就得到一个样本. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.下列各项属于分层抽样的特点的是 (　　) A.从总体中逐个抽取 B.将总体分成几层,分层进行抽取 C.将总体分成几部分,在各部分中抽取相同数量的个体 D.将总体随意分成几部分,然后进行随机抽取 解析:A属于简单随机抽样的特点, B属于分层抽样的特点, C、D不属于分层抽样的特点,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是 (　　) A.从一箱3 000个零件中抽取5个入样 B.从一箱3 000个零件中抽取600个入样 C.从一箱30个零件中抽取5个入样 D.从甲、乙两厂生产的300个零件中抽取6个入样 解析:A中总体容量较大,样本容量较小,适合用随机数表法; B中总体容量较大,且无明显差异,不适合用分层抽样; C中总体容量较小且个体间无较大差异,样本容量较小,适合用抽签法; D中总体有明显的层次,适合用分层抽样. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.现从中小学生中抽取部分学生进行一次肺活量调查,据了解,某地小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女学生的肺活量差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (　　) A.简单随机抽样 B.按性别分层随机抽样 C.按学段分层随机抽样 D.按肺活量分层随机抽样 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:因小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,因此不适合简单随机抽样,故A错误; 因同一学段男、女学生的肺活量差异不大,因此按性别分层随机抽样没有必要,故B错误; 小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女学生的肺活量差异不大,因而按学段分层随机抽样,故C正确; 因肺活量是待测量的量,不可以作为分层的标准,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.唐代以来,牡丹之盛,以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.唐朝诗人白居易“花开花落二十日,一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色,花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类,现有牡丹花n朵,千瓣类比单瓣类多30朵,采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究,其中单瓣类有4朵,重瓣类有2朵,千瓣类有6朵,则n= (　　) A.360 B.270 C.240 D.180 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x,由题意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x= 12×15=180.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生,已知乙班分配到的优秀学生名单为6人,则高三年级三个班优秀学生总人数为 (　　) A.16 B.30 C.24 D.18 解析:甲、乙、丙三个班级人数比为4∶3∶5,由分层随机抽样知,三个班级优秀学生名额分别为8,6,10,所以高三年级三个班优秀学生总人数为8+6+10=24. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.下表为某地春节假期某日游客抽取的100人样本的出行方式统计数据 出行方式 高铁 自驾 飞机 客车 频数 27 16 28 29 某实验点从这批游客中抽取25人,当中选择飞机出行的人数大约为 (　　) A.8 B.7 C.6 D.4 解析:由题意可知,每人被抽到乘飞机的可能性均为=,所以选择飞机出行的人数大约为25×=7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(多选)已知某高中共有学生2 040人,其中高一段学生800人,高二段学生600人,为了了解学生的体质健康水平,现从三个年级段中采取分层随机抽样的方法,抽取一个容量为51的样本,检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%,60%,50%,下列说法正确的是 (　　) A.体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B.体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C.高二段抽取了15人 D.估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%(百分比保留一位小数) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:高三有2 040-800-600=640人,高一抽取51×=20人; 高二抽取51×=15人,C正确; 高三抽取51×=16人. 高一体质健康水平不优秀的人数为800×(1-45%)=440; 高二体质健康水平不优秀的人数为600×(1-60%)=240; 高三体质健康水平不优秀的人数为640×(1-50%)=320. 所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段,A正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 高一体质健康水平优秀的人数为800-440=360;高二体质健康水平优秀的人数为600-240=360; 高三体质健康水平优秀的人数为640-320=320. 所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段,B正确; 估计该校学生体质健康水平的优秀率为=≈51.0%, D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生有　　　　人.  解析:男生人数为560×=160. 160 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为　　　　件.  解析:设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4 800-x)件. 由题意,得=,解得x=1 800. 1 800 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25, 43,则这四个社区驾驶员的总人数N为　　　　.  解析:因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12,所以四个社区抽取驾驶员的比例为=.所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)÷=808. 808 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示:   高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本. (1)求x∶y∶z的值; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解:设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c, 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c),去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 则对应人数如下表所示:   高一 高二 高三 A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c) B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c) 则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若抽到的B会场的高二学生有150人,求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数. 解:依题意,n×0.75×0.5=150,解得n=400,则抽到的A会场的学生总数为100, 所以高一年级人数为100×50%=50,高二年级人数为100×40%=40,高三年级人数为100×10%=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)为了评估某校的教学水平,将抽取这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩进行考察.为了全面反映实际情况,采取以下两种抽样方式(已知该校高三年级共有10个教学班400名学生,并且每个班的学生都已经按随机方式编好了学号,假定每班人数都相同): 方式1:从全年级10个班中任意抽取一个班,考察他们的成绩; 方式2:把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别(若按成绩分,该校高三学生中优秀学生有60名,良好学生有180名,普通学生有160名),从中按比例抽取40名学生进行考察. 根据上面的叙述,试回答下列问题: (1)上面两种抽样方式各自采用何种抽取样本的方法? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解:根据题意可知,方式1采用的是简单随机抽样法,方式2采用的是分层抽样法. (2)分别写出上面两种抽样方式各自抽取样本的步骤. 解:方式1抽样的步骤如下: 在全年级10个班中用抽签法任意抽取一个班级,考察他们的成绩; 方式2抽样的步骤如下: 第一步:分层 把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 第二步:确定各个层抽取的人数 由于样本容量与总体个数比值为=, 所以每层抽取的个体数依次为60×=6, 180×=18,160×=16; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 第三步:按层分别抽取样本人数 在优秀学生中用简单随机抽样法抽取6人, 在良好学生中用简单随机抽样法抽取18人, 在普通学生中用简单随机抽样法抽取16人. $$