3.1.1 第3课时 分段函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

分段函数—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) 第3课时 课时目标 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象． 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题． (1)分段函数的定义：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集． (3)分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　分段函数求值问题 题型(二)　分段函数的图象及应用 题型(三)　分段函数的实际应用问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　分段函数求值问题 01 (2)若f(x)＝2，求x的值． [变式拓展] 本例已知条件不变，若f(x)＝－2，求x的值． |思|维|建|模|　分段函数求值问题的解题思路 求函数值 当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 针对训练 √ 解析：由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论： 当a>0时，f(a)＝2a， 由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去；当a≤0时，f(a)＝a＋1， 由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意． 8 题型(二)　分段函数的图象及应用 02 (2)画出f(x)的图象； [解]　函数f(x)的图象如图所示． (3)写出函数f(x)的值域． [解]　由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [变式拓展] 把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解． |思|维|建|模| 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．　　 针对训练 解：函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x＝0时，y＝0； 当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1，故f(x)的图象如图所示． 题型(三)　分段函数的实际应用问题 03 [例3]　某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额． |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件，将文字语言转化为数学语言； (2)建立恰当的分段函数模型解决问题．　　 针对训练 4．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解：①当12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)； 当x＝15时，f(x)＝g(x)； 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x)． ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)． 综上，当12≤x＜15时，选A俱乐部合算； 当x＝15时，选A，B俱乐部都合算； 当15＜x≤30时，选B俱乐部合算． 课时跟踪检测 04 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 解析：∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数．∴D(D(x))＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　 ) A．f(f(－3))＝1 B．f(－1)＝3.5 C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3] D．函数的值域是[1,5] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：选项A，由题图可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；选项B，图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；选项C，由题图可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；选项D，由题图可得函数的值域为[1,5]，D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3. －3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 [－1,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 －4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)画出函数f(x)的图象． 解：f(x)的图象如图所示． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]， 当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)， 因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为________元． 11.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(10分)已知函数f(x)的图象如图所示，在区 间[0,4]上是抛物线的一段． (1)求f(x)的解析式； 解：由题图可知，当x<0时，f(x)＝3， 当0≤x≤4时，设f(x)＝a(x－2)2－1， 把点(1,0)代入得a－1＝0，解得a＝1， 所以f(x)＝(x－2)2－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； 解：(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数φ(x)的定义域、值域． 解：由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]． [例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f的值． [解]　∵f＝＋2＝， ∴f＝f＝2＝. ∴f＝f＝×＝. [解]　当f(x)＝x＋2＝2时，x＝0，不符合x＜0. 当f(x)＝x2＝2时，x＝±，其中x＝， 符合0≤x＜2. 当f(x)＝x＝2时，x＝4，符合x≥2. 综上，x的值是 或4. 解：当x＋2＝－2时，x＝－4，符合x＜0. 当x2＝－2时，无解． 当x＝－2时，x＝－4，不符合x≥2. 综上，x的值是－4. 1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．函数f(x)＝则f(7)＝________. 解析：∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8. [例2]　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； [解]　当0≤x≤2时， f(x)＝1＋＝1. 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. ∴f(x)＝ 解：由题易得f(x)＝|x|－2＝ 作出函数的图象如图所示． 由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)若f(x)＝，求x的值； 解：f(x)＝等价于①或 ② 或　 ③ 解①得x＝±，②③的解集都为∅. 所以当f(x)＝时，x＝±. (3)若f(x)≥，求x的取值范围． 解：由于f＝，结合此函数图象可知， f(x)≥的x的取值范围是∪. [解]　设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元，则y＝ 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40. ∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60. 解得x＝1 000. ∴1 000－60＝940.故此人购物实际所付金额为940元． 解：由题意f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．函数f(x)＝的图象是(　 ) 解析：函数f(x)＝＝故选C． 2．已知著名的狄利克雷函数D(x)＝则D(D(x))等于(　 ) A．0 B．1 C． D． 3．函数f(x)＝的值域是(　 ) A．R B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] 4．已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　 ) A．－1 B．±1 C．0 D．1 解析：当a≥0时，f(a)＝a3＝1，则a＝1， 当a<0时，f(a)＝＝1，解得a＝－1. 综上a＝±1. 6．已知函数f(x)＝则f(3)＝________. 7．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为________． 解析：原不等式转化为或解得－1 ≤x≤1. 8．已知函数f(x)＝若f＝－6，则f(4)＝________. 解析：由题意，得f＝3.所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4. 9．(8分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； 解：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时， y＝×4×x＝2x； 当点P在CD上运动，即4<x≤8时， y＝×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8<x≤12时， y＝×4×(12－x)＝24－2x. 综上可知，f(x)＝ B级——重点培优 11．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　 ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1,1) 当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)， 当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确； 当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1， 因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误． 12．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2022年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 解析：根据1月份用气量4 m3，煤气费4元， 可知f(4)＝C＝4.又由2、3月份用气量和煤气费得 解得A＝5，B＝. 所以f(x)＝ 所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5. 13．设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是________． 解析：∵当x0∈A时，f(x0)∈.∴f(f(x0))＝2＝2∈A．解得＜x0＜. 当x>4时，设f(x)＝kx＋b， 把(4,3)，(5,0)代入得， 解得 所以f(x)＝－3x＋15， 所以f(x)＝ (2)解不等式f(x)≤x＋1. 解：f(x)≤x＋1， 当x<0时，3≤x＋1，解得x≥4，不符合，舍去； 当0≤x≤4时，(x－2)2－1≤x＋1，解得≤x≤4； 当x>4时，－3x＋15≤x＋1，解得x≥4，所以x>4. 综上，不等式f(x)≤x＋1得解集为. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②所示． 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ $$