3.1.1 第2课时 函数的表示方法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

函数的表示方法—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　函数的三种表示法 题型(二)　函数的图象 题型(三)　求函数的解析式 4 课时跟踪检测 题型(一)　函数的三种表示法 01 三种常用的函数表示方法 [例1]　中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？ [解]　因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}． 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 |思|维|建|模| 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． (3)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．　　 针对训练 1．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：①列表法： x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 题型(二)　函数的图象 02 [例2]　作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； [解]　当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．如图①所示． (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．如图③所示． |思|维|建|模|　作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按： ①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 针对训练 2.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义 域是_________，值域是________． 解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]， 值域为[－2，2]． [－3,3] [－2,2] 3．画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； 解：y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①所示． (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线．如图②实线部分所示． 题型(三)　求函数的解析式 03 (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)； [解]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 因为f(f(x))＝4x＋8， 所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式 续表 针对训练 4．根据下列条件，求f(x)的解析式． (1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1； 解：令t＝x＋1，则x＝t－1. 故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2. 所以f(x)＝x2＋2x－2. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．已知购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　 ) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4}) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 解析：由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知函数f(x)是一次函数，且f(x－1)＝4x＋3，则f(x)的解析式为(　 ) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7 C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家 的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示 陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是(　 ) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈校长家距离不变，除D选项外，其余都不符合．故选D． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数y＝f(x)的图象如图所示． 则(1)f(－2)＝_____； 解析：由题图，知f(x)过点(－2，3)， 故可得f(－2)＝3. (2)若f(x)＝0，则x＝________. 解析：由题图可知，f(x)过点(－3,0)，故可得x＝－3. 16 3 －3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(6分)某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系． 解：列表法：列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为 16 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 图象法：画出参赛者得分y与答错题目道数 x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系，如图所示． 解析法：参赛者得分y与答错题目道数 x(x∈{0,1,2，3,4,5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(8分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21. 所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式． 解：由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x， 整理得－2ax＋a－b＝4x， 即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，若f(8)＝7，则f(2)＝(　 ) A．7 B．3 C．2 D．1 解析：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且f(8)＝7，所以令x＝y＝4，可得f(8)＝2f(4)＋1＝7，解得f(4)＝3.再令x＝y＝2，可得f(4)＝2f(2)＋1＝3，解得f(2)＝1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标(℃)，少数国家使用华氏温标(℉)，两种温标间有如下对应关系： 根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25 ℃对应77 ℉；　②－20 ℃对应－4 ℉； ③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值． 其中所有正确推断的序号是__________． 16 摄氏温标(℃) … 0 10 20 30 40 50 … 华氏温标(℉) … 32 50 68 86 104 122 … ①②③ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)y＝|x2－1|. 解：先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(12分)如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(不考虑临界状态) (1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)确定函数的定义域和值域． 解：定义域为{h|0<h<1.8}． 由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象(图略)可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， 所以0<A<6.84.故函数的值域为(0,6.84)． 16 (2)y＝，x∈[2，＋∞)； [解]　当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分．如图②所示． [例3]　求下列函数的解析式： (1)(换元法或配凑法)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)； [解]　法一：换元法　令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二：配凑法　由已知得f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3. 因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. [解]　由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x. 联立 解得f(x)＝x－1. 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程 组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9. 即2kx＋3k＋2b＝2x＋9. 所以解得所以f(x)＝x＋3. (3)已知f(x)满足2f＋f(x)＝x(x≠0)． 解：因为2f＋f(x)＝x(x≠0)　①， 所以2f(x)＋f＝　②. 2×②－①，得3f(x)＝－x， 所以f(x)＝－(x≠0)． 2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为(　 ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 解析：设一次函数的解析式为f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＝4x＋3，可得f(x－1)＝a(x－1)＋b＝ax－a＋b＝4x＋3.所以解得所以函数的解析式为f(x)＝4x＋7. 4．已知f(－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为(　 ) A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0) B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1) C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0) D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1) 解析：令t＝－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故选D． 7．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为__________________，φ(3)的值是__________． φ(x)＝3x＋(x≠0)　 解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则φ(x)＝kx＋.由题设，知解得 所以φ(x)＝3x＋(x≠0)，φ(3)＝3×3＋＝. 8．已知f＝，那么f(x)的解析式为__________________________． f(x)＝(x≠－1且x≠0) 解析：由f＝可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠0}．令t＝，则x＝(t≠－1且t≠0)，所以f(t)＝＝.故f(x)＝(x≠－1且x≠0)． B级——重点培优 11．(多选)已知矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，则下列式子正确的是(　 ) A．l＝2x＋(x>0) B．y＝(x>0) C．l＝2(d>0) D．d＝(x>0) 解析：因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝.所以矩形的周长为l＝2x＋(x>0)，所以A、B正确；因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，(x＋y)2＝d2＋20，因为x＋y>0， 所以x＋y＝，所以矩形的周长为l＝2(d≥2)，所以C错误；由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋.因为d>0，所以d＝(x>0)，所以D正确． 12．(多选)若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　 ) A．f＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f＝－1(x≠0且x≠1) 解析：令1－2x＝t(t≠1)，则x＝.所以f(t)＝＝－1.则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确． 解析：设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉， 根据表格数据可知＝1.8，＝1.8，＝1.8，…，∴＝1.8，即y＝1.8x＋32.∴当x＝25时，y＝77；当x＝－20时，y＝－4，故①、②正确；由y＝1.8x＋32＝x，可得x＝－40，即摄氏温标－40 ℃对应的华氏温标为－40 ℉，故③正确． 15．(10分)画出下列函数的大致图象： (1)y＝； 解：因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y＝的图象，如图①(右栏)所示． 解：由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m， 所以水的面积A＝＝h2＋2h. $$