3.1.1 第1课时 函数的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

第三章 函 数 3.1.1 函数及其表示方法 函数的概念—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的定义域、值域、对应关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的概念 逐点清(二)　求函数的定义域 逐点清(三)　求函数值、值域 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数的概念 01 多维理解 1．函数的概念 函数的定义 一般地，给定两个___________A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的____________x，在集合B中都有__________的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 _________________________________________ 非空实数集 每一个实数 唯一确定 y＝f(x)，x∈A 定义域 x称为自变量，自变量_____________ (即数集A)称为这个函数的定义域 函数值 如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值 值域 所有函数值组成的集合_________________称为函数的值域 续表 取值的范围 {y|y＝f(x)，x∈A} |微|点|助|解|　 对函数概念的理解 (3)对应具有方向性与唯一性．方向性是指对应是从集合A到集合B，唯一性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应．如y2＝x，y＝x±1不表示函数，因为它们都不满足对应的唯一性． 2．同一个函数 一般地，如果两个函数表达式表示的函数_______相同，_________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值________)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 定义域 对应关系 都相等 微点练明 × 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y. ( 　 ) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　 ) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　 ) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　 ) × × × √ √ 解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同． 4．判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． (1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； 解：A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； 解：对于集合A中的每一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． 解：集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 解：对于集合A中每一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 逐点清(二)　求函数的定义域 02 多维理解 求函数定义域时遵循的原则 (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集． (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合． (6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应关系所作用对象的范围是一致的． 微点练明 √ √ 4．已知f(x＋1)的定义域为(2,4)． (1)求f(x)的定义域； 解：∵f(x＋1)的定义域为(2,4)， ∴2＜x＜4，则3＜x＋1＜5，即f(x)的定义域为(3,5)． (2)求f(2x)的定义域． 逐点清(三)　求函数值、值域 03 (2)求f(g(3))，f(g(x))； (3)求f(x)，g(x)的值域． |思|维|建|模| 1．求函数值的方法及关注点 (1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义． 2．求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域． (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的求法． (3)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域． √ 针对训练 2．求下列函数的值域： (1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； 解：∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}， ∴y∈{3,5,7,9,11}． ∴函数的值域为{3,5,7,9,11}． (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]； 解：配方得y＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示， 由图知，2≤y≤11， 即函数的值域为[2,11]． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．(多选)下列图形是函数图象的是(　 ) 16 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B、C、D均符合函数定义． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．(多选)下列说法正确的是(　 ) A．函数u＝t2，t∈(－∞，＋∞)与函数x＝y2，y∈(－∞，＋∞)是同一个函数 B．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个公共点 C．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在 D．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：对于A，函数的对应关系，定义域相同，故为同一个函数，A正确；对于B，根据函数的定义，对于定义域内任意的自变量x，都有唯一确定的y与之对应，故直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个公共点，B正确；对于C，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，g(x)＝x2，x∈[－1,0]，两函数的值域均为[0,1]，对应关系相同，但定义域不同，故C错误；对于D，例如对任意的一次函数y＝kx＋b，k≠0，定义域、值域均为R，但对应关系不同，故D正确． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是(　 ) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：A项中函数的定义域为[－2,0]，C项中对任一x都有两个y值与之对应，D项中函数的值域不是[0,2]，均不是函数f(x)的图象．故选B． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其函数可以为_______________________． 解析：函数y＝x2与y＝(x＋1)2的定义域和值域都相同． 16 y＝(x＋1)2(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， ∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 [0,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解：根据函数的定义，集合A中没有剩余元素，且应满足对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．可取f(x)＝|x|，可知f(－2)＝f(2)＝2，f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＝3，显然1,2,3都是集合B中的元素．故此函数可以是f(x)＝|x|，x∈{－2，－1,1,2,3}(答案不唯一)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(10分)求下列函数的值域： (1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； 解：当x＝－1时，y＝(－1－1)2＋1＝5. 同理可得：x＝0时，y＝2；x＝1时，y＝1；x＝2时，y＝2；x＝3时，y＝5. ∴函数的值域为{1,2,5}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(10分)(1)已知函数f(x)的定义域为(1,2]，值域为[－5，＋∞)，设g(x)＝f(2x－1)，求g(x)的定义域和值域； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知g(x)＝f(2x－1)＋1，且g(x)的定义域为(1,2]，值域为[－5，＋∞)，求函数f(x)的定义域和值域． 解：因为1＜x≤2，所以2＜2x≤4，所以1＜2x－1≤3.因为g(x)≥－5，所以g(x)－1≥－6. 因为g(x)＝f(2x－1)＋1， 所以f(2x－1)＝g(x)－1≥－6，故f(x)≥－6. 因此函数f(x)的定义域为(1,3]，值域为[－6，＋∞)． 16 (1)集合A，B必须是数集，不能是点集或其他集合，即函数研究的对象是数． (2)集合A，B必须是非空的．如y＝＋ 就不是函数． 2．下列可以表示以M＝为定义域，以N＝为值域的函数图象是(　 ) 解析：根据题意，依次分析选项：对于A，其对应函数的值域不是N＝，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝，值域是N＝，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误．故选C． 3．已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝； ③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)； ④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　 ) A．没有　　　　　　　　 B．仅有② C．②④ D．②③④ (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； 1．函数f(x)＝的定义域为(　 ) A． B．{x|x>1} C． D． 解析：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得即x≥且x≠1，故选C． 2．已知f的定义域为，则f(2x－1)的定义域为(　 ) A．　　　 B． C． D． 解析：由f(x2－1)的定义域为[1,3]，得x∈[1,3]，所以x2∈[1,9]， 所以x2－1∈[0,8]，f(x)的定义域为[0,8]，令2x－1∈[0,8]，得2x∈[1,9]，即x∈，所以f(2x－1)的定义域为. 3．(1)求下列函数的定义域： (1)f(x)＝·； 解：要使函数有意义，只需 解得x≥－2，∴函数的定义域为. (2)f(x)＝； 解：要使函数有意义，只需 解得x≥4且x≠5， ∴函数的定义域为. (3)f(x)＝－＋. 解：要使函数有意义，则 解得－≤x＜2，且x≠0. 故定义域为∪(0,2)． 解：∵f(x)的定义域为(3,5)， ∴由3＜2x＜5得＜x＜， 即f(2x)的定义域为. [典例]　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R)． (1)求f(2)，g(3)； [解]　由题意，得f(2)＝＝－，g(3)＝32－1＝8. [解]　由(1)得f(g(3))＝f(8)＝＝－. f(g(x))＝f(x2－1)＝＝＝－1(x≠0，x∈R)． [解]　因为f(x)＝＝＝－1≠－1，所以f(x)的值域为{y|y∈R且y≠－1}； 因为g(x)＝x2－1≥－1， 所以g(x)的值域为[－1，＋∞)． 1．设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为(　 ) A．－4 B．4 C．－10 D．10 解析：令＝2，则x＝－10，选C． (3)y＝. 解：∵y＝＝ ＝3＋≠3， ∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 3．函数f(x)＝ 的定义域是(　 ) A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|x≤2} D．{x|x≥2} 解析：因为函数f(x)＝，所以x－2＞0，解得x＞2，所以函数f(x)＝的定义域是{x|x＞2}，故选B． 4．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　 ) A．(－∞，1] B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：因为x2＋1≥1，所以0<≤1，故函数f(x)＝(x∈R)值域为(0,1]，故选B． 6．下列各组函数是同一函数的是(　 ) A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x C．y＝与y＝x D．y＝与y＝x－1 解析：对于A中，函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y＝1的定义域为R，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；对于B中，函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y＝x的定义域为R，两函数的定义域不同， 所以两函数不是同一函数；对于C中，函数y＝＝＝x与y＝x的定义域都是R，且对应关系相同，所以两函数是同一函数；对于D中，函数y＝＝|x－1|与y＝x－1，两函数的对应关系不同，所以两函数不是同一函数． 7．已知函数f(x)＝，若f(t)＝6，则t＝________. － 解析：由f(t)＝6，得＝6，解得t＝－. 9．(6分)求下列函数的定义域： (1)y＝(x－1)0＋ ； 解：要使函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． (2)y＝＋. 解：要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}． 10．(8分)已知函数f(x)＝x＋. (1)求f(x)的定义域； 解：f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝. 解：当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋. B级——重点培优 11．已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为(　 ) A．(－1,9] B．[－3,1] C．[－2,1] D． 解析：∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}．∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤.即函数f(2x＋1)的定义域为. 12．(多选)下列说法正确的是(　 ) A．A＝B＝N＋，对任意的x∈A，x→x－1，这个对应是A到B的函数 B．函数f(x)＝的定义域为{x|－2＜x≤1} C．y＝和y＝表示同一个函数 D．函数f(x)＝x2＋2x(x∈[－3,2])的值域是[3,8] 解析：对于A，当x＝1时，x→x－1＝0∉B，故不符合函数定义，A错误；对于B，因为二次根式被开方数大于等于0，且分母不能为零，即x≠－2，且需≥0，即－2＜x≤1，故f(x)的定义域为(－2,1]，B正确；对于C，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一个函数，C正确；对于D，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，f(x)min＝f(－1)＝－1，f(x)max＝f(2)＝8，故值域为[－1,8]，D错误． 13．已知函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析：当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意；当a≠0时，由题意知⇒0<a≤4. 综上，a的取值范围为[0,4]． 14．(8分)已知集合A＝{－2，－1,1,2,3}，B＝，请用解析法写出一个从集合A到集合B的函数(注意不要写常数函数和分段函数形式，并注意定义域)． (2)y＝； 解：∵0≤16－x2≤16，∴0≤ ≤4， 即函数y＝的值域为[0,4]． (3)y＝； 解：(分离常数法)∵y＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}，∴≠0，即y≠1. ∴函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}． (4)y＝2x＋4 . 解：(换元法)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，结合图象可得函数的值域为(－∞，4]． 解：因为1＜2x－1≤2，所以1＜x≤.又f(x)的值域为[－5，＋∞)，因此函数g(x)的定义域为，值域为[－5，＋∞)． $$