2.2.4 第2课时 均值不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

均值不等式的应用—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 第2课时 课时目标 1．进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等利用均值不等式求最值． 2．要灵活应用不等式解决问题，能够利用均值不等式解决实际问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用均值不等式求最值 题型(二)　利用均值不等式解决实际问题 题型(三)　均值不等式的综合运用 4 课时跟踪检测 题型(一)　利用均值不等式求最值 01 |思|维|建|模| (1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值(如例1)． (2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值(如例2)． (3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值(如例3)．　　 针对训练 题型(二)　 利用均值不等式解决实际问题 02 [例4]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. [变式拓展] 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ |思|维|建|模| 利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用均值不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论．　　 针对训练 题型(三)　均值不等式的综合运用 03 [例5]　(1)已知x>1时，不等式2x＋m＋ >0恒成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．{m|m<－8} B．{m|m>－8} C．{m|m<－6} D．{m|m>－6} √ 36 |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．　　 针对训练 √ {m|m≤12} 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．若矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 16 32 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是_________． 16 {m|m<8} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为__________． 16 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 4,12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(12分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩 形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE＝CE，AB＞ AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB＝x cm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽？ 16 用均值不等式≥求最值应注意： 1x，y是正数. 2①如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；,②如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 3讨论等号成立的条件是否满足. [例1]　[配凑求最值]已知x>3，求y＝2x＋的最小值． [解]　因为x>3，所以2x－6>0， 所以y＝2x＋＝2x－6＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当2x－6＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝2x＋的最小值是10. [例2]　[拆裂项求最值]若x>1，求函数y＝的最小值． [解]　由x>1，知x－1>0. 所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立． 所以当x＝2时，y取得最小值4. [例3]　[常数代换求最值]已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值． [解]　因为x>0，y>0，＋＝1， 所以x＋2y＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立， 所以x＋2y的最小值为18. [变式拓展] 若把例3的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 解：因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18. 1．(1)已知x>0，求4x＋的最小值； 解：因为x>0，故4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立．故4x＋的最小值为4. (2)已知x>0，求2－3x－的最大值； 解：因为x>0，故2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故2－3x－的最大值为2－4. (3)已知x<，求 4x－2＋的最大值． 解：因为x<，所以5－4x>0. 所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立． 故当x＝1时，4x－2＋的最大值为1. [解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y) m. 法一　由已知xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 法二　由已知xy＝16，得y＝. 所以2(x＋y)＝2≥2×2＝16. 当且仅当x＝y＝4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝＝3，或＝≤＝3，可得xy≤9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园是边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. 2．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝. 解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝. ∴每平方米的平均综合费用 y＝560＋48x＋＝560＋48. 当x＋取最小值时，y有最小值． ∵x≥10，∴x＋≥2＝30. 当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立． ∴当x＝15时，y有最小值2 000元． 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少． [解析]　不等式2x＋m＋>0化为2(x－1)＋>－m－2， ∵x>1，∴2(x－1)＋≥2×＝4，当且仅当x＝2时，等号成立． ∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，∴－m－2<4，解得m>－6. (2)已知函数y＝4x＋(x>0, a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝______. [解析]　∵x>0，a>0，∴y＝4x＋≥2＝4. 当且仅当4x＝，即4x2＝a时y取得最小值， 又∵x＝3，∴a＝4×32＝36. 3．已知正实数a，b满足＋＝m，若·的最小值为4，则实数m的取值范围是(　 ) A．{2} B．{m|m≥2} C．{m|0<m≤2} D．{m|m>0} 解析：因为a，b为正实数， ＝ab＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当ab＝，即ab＝1时等号成立，此时有b＝，又因为＋＝m，所以a＋＝m， 由均值不等式可知a＋≥2(当且仅当a＝1时等号成立)，所以m≥2. 4．已知a>0，b>0，若＋≥恒成立，则m的取值范围是___________． 解析：根据题意，a>0，b>0，＋≥恒成立等价于(a＋3b)≥m恒成立．所以(a＋3b)＝3＋＋＋3＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12. (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．下列各式中最小值为2的是(　 ) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) 解析：对于A，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于B，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于C，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；对于D，y＝t＋＋1≥3. 2．已知函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　 ) A．1＋ B．2 C．3 D．4 解析：y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立． 3．函数y＝3x2＋的最小值是(　 ) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D． 4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为(　 ) A．4 B．2 C．8 D．16 解析：由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立． 5．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　 ) A．2 B．4 C．4 D．16 解析：因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最大值为2. 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy， 所以＋＝1. 所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立． 又x＋2y>m恒成立，所以m<8. 9．(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”． 解：T＝＝＝＋＋. 解：经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝＋＋≥2＋＝， 当且仅当＝，即v＝20时取等号． ∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大． 10．(8分)设a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； 解：∵a，b为正实数，且＋＝2≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，即ab≥，当且仅当a＝b时，等号成立． ∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a2＋b2的最小值为1. 解：∵＋＝2，∴a＋b＝2ab.∵(a－b)2≥4(ab)3， ∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3， 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab＝1. B级——重点培优 11．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A． B．1 C．2 D．6 解析：设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2. 解析：(1＋x)(1＋2y)≤2＝2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立． 13．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为__________． － 解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－. 14．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数分别为________． 解析：设＋＝1，a，b∈N＋， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 当且仅当＝，即b＝3a时，等号成立． 又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12. 这两个数分别是4,12. 15．若a>0，b>0，且a2＋＝1，求a的最大值为________． 解析：∵a>0，b>0，a2＋＝1， ∴a＝＝ ＝ ≤ ＝＝， 当且仅当正数a，b满足a2＝且a2＋＝1， 即a＝，b＝时，等号成立． ∴a的最大值为. 解：由题意可得AD＝4－x，且x＞4－x＞0，可得2＜x＜4.又AE＝CE＝x－DE， 在直角三角形ADE中，可得AE2＝AD2＋DE2， 即(x－DE)2＝(4－x)2＋DE2， 化简可得DE＝4－(2＜x＜4)． 解：S△ADE＝AD·DE＝(4－x) ＝2≤2＝12－8， 当且仅当x＝2，4－x＝4－2， 即队徽的长和宽分别为2，4－2时，△ADE的面积最大． $$