2.2.4 第1课时 均值不等式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

2.2.4 均值不等式及其应用 均值不等式—— (教学方式：深化学习课—题型研究式教学) 第1课时 课时目标 CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 ≥ a＝b √ × × × 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　 ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立． √ √ √ √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　对均值不等式的理解 其中正确的推导为(　 ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ √ 针对训练 √ 题型(二)　利用均值不等式比较大小 √ m>n |思|维|建|模| 利用均值不等式比较大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.　　 针对训练 √ 3．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ac的大小关系是_______________________． 解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac 题型(三)　利用均值不等式证明不等式 |思|维|建|模| 利用均值不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用均值不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到 4．已知x>0，y>0，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　 ) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 解析：∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由均值不等式可知②④正确． 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 x＝5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1．掌握均值不等式≤(a>0，b>0)，掌握均值不等式的变形及应用． 2．能熟练运用均值不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式． 1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数_______称为a，b的算术平均值；数____称为a，b的几何平均值． 2．均值不等式 如果a，b都是正数，那么___，当且仅当________时，等号成立． 3．常用变形 (1)2≥ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． |微|点|助|解|　 (1)均值不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (2)均值不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数．事实上，当a>0，b>0时，我们分别用，代替重要不等式中的a，b，即得a＋b≥2，变形可得≥. (3)均值不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数． 基础落实训练 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2 . (　 ) (2)6和8的几何平均数为2. (　 ) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． (　 ) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2. (　 ) 3．设a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．a－b<0 B．0<<1 C．< D．ab>a＋b 解析：∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立． 4．(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是(　 ) A．≥ B．a－b≥2 C．a2＋b2≥2ab D．a2－b2≥2ab 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确． [例1]　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2. [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． |思|维|建|模| 对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面 (1)定理成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.　　 1．下列不等式等号可以取到的是(　 ) A．＋≥2 B．x2＋2＋≥2 C．x2＋≥2 D．|x|＋3＋≥2 解析：对于A，因为>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即x2＝－4，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋≥2＝2，当且仅当x2＋2＝，即x2＝－1，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为x2>0，所以x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取等号，故C符合；对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋≥2＝2，当且仅当|x|＋3＝，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合． [例2]　(1)设0<a<b，则下列不等式正确的是(　 ) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b [解析]　法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项，故选B． 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a＜＜＜b. 故选B． (2)已知m＝a＋(a>2)，n＝2－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________． [解析]　因为a>2，所以a－2>0， 又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝2－b2<4，综上可知m>n. 2．设0<a<b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　 ) A． B．b C．2ab D．a2＋b2 解析：∵ab<2，∴ab<，∴2ab<. ∵>>0，∴ >，∴a2＋b2>. ∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0， ∴b>a2＋b2，∴b最大． [例3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋>9.　 [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋>3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9. ∴＋＋>9. [变式拓展] 本例条件不变，求证：>8. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴ ＝··>＝8. ∴>8. 证明：∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0， x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 当且仅当x＝y时，等号成立． (满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分) A级——达标评价 1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　 ) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 解析：根据均值不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 3．下列不等式正确的是(　 ) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 解析：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则<，故C错误；由均值不等式可知D正确． 4．(多选)设a，b∈R，且a≠b, a＋b＝2，则必有(　 ) A．ab>1 B．ab<1 C．<1 D．>1 解析：由均值不等式可得ab≤2, a≠b，所以ab<1, 又1＝＝<＝(a2＋b2)，所以(a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选B、D． 5．设M＝3，N＝n3＋＋6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　 ) A．M≥N B．M>N C．M≤N D．不能确定 解析：M－N＝3－n3－－6＝n3＋＋＋3n－n3－－6＝3－6，∵n>0，∴n＋≥2＝2，当且仅当n＝1时，等号成立，∴3－6≥0，∴M≥N. 6．下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________． 7．不等式＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是_______. 解析：当x>2时，＋(x－2)≥2＝6，等号成立的条件是 ＝x－2，即(x－2)2＝9，解得x＝5(x＝－1舍去)． 8．已知a＞b＞c，则 与的大小关系为_____________________． ≤ 解析：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立． 9．(10分)已知a，b，c都是非负实数，试比较 ＋＋与(a＋b＋c)的大小． 解：由≤ ，得 ≥(a＋b)． 同理得 ≥(b＋c), ≥(a＋c)． 所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)． 故＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 10．(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥，≥，≥.∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a＋b＋c>＋＋. B级——重点培优 11．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(0<a<b)．为便于调控生产，分别将＝1，＝，＝中x(x>0)的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为(　 ) A．H<G<A B．G<H<A C．A<G<H D．A<H<G 解析：由＝1得x－a＝b－x，解得x＝，即A＝；由＝得x2－ax＝ab－ax，解得x＝，即G＝；由＝得bx－ab＝ab－ax，解得x＝，即H＝≤＝.又≥，∴≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．∴H<G<A． 12．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是(　 ) A．a＋b＋≥2 B．2≤ C．≥ D．(a＋b)≥4 解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2 ＋≥2，当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时，等号成立，故A一定成立． 由做差比较法，－＝≥0，可知2≤，故B一定成立．因为a＋b≥2 >0, 所以≤＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不一定成立．因为(a＋b)·＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故D一定成立． 13．(13分)已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2，当且仅当a＝b时，等号成立； ＋≥2，当且仅当a＝c时，等号成立； ＋≥2，当且仅当b＝c时，等号成立． 从而＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 14．(15分)均值不等式≥(a>0，b>0)可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为 ≥≥≥(a>0，b>0)． (1)证明不等式≥； 证明：由题意可知，a>0，b>0，则>0，>0. ∴·＝＋＋＋≥1＋2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立． ∴≥. (2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中≥(a>0，b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想． 证明：要证 ≥(a1>0，a2>0，a3>0)，只要证≥. 即证3a＋3a＋3a≥(a1＋a2＋a3)2. ∵(a1＋a2＋a3)2＝a＋a＋a＋2a1a2＋2a2a3＋2a1a3， 又2a1a2≤a＋a，2a2a3≤a＋a，2a1a3≤a＋a，当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立， ∴a＋a＋a＋2a1a2＋2a2a3＋2a1a3≤a＋a＋a＋2(a＋a＋a)＝3(a＋a＋a)， 即3a＋3a＋3a≥(a1＋a2＋a3)2， 当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立． ∴ ≥(a1>0，a2>0，a3>0)． 即可得证． $$