1.1.2 集合的基本关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

1.1.2 集合的基本关系—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．理解集合之间包含与相等的含义能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念． 2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法． 3．会判断集合间的关系，并能用符号和维恩图表示．注意空集在解题中的影响． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　子集、真子集 逐点清(二)　集合相等与子集的个数 逐点清(三)　根据集合的基本关系求参数的范围 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　子集、真子集 01 多维理解 1．子集 概念 一般地，如果集合A的_____________都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作____ (或_____)，读作“A______B” (或“B____A”) 图示 任意一个元素 A⊆B B⊇A 包含于 包含 性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即______． (2)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A． (3)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么_____ A⊆A A⊆C 续表 |微|点|助|解|　 (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． (2)A⊆B的理解：不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A． 2．真子集 概念 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中______________不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 至少有一个元素 续表 微点练明 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a∈A，则{a}⊆A． (　 ) (2)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B． (　 ) √ √ 2．已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是(　 ) A．A⊆B⊆C　　　　 B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C 解析：集合A，B，C的关系如图所示． √ 3．已知集合A＝(－1,2)，B＝(0,1)，则(　 ) A．B∈A B．A⊆B C．B⊆A D．A＝B 解析：在数轴上标出集合AB，可得∴B⊆A． 4．(多选)已知集合A＝{1,2,3}，Y＝{x|x⊆A}，则下列结论正确的是(　 ) A．{1}⊆Y B．A∈Y C．∅ Y D．{∅} Y 解析：由题意知，Y＝{∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}}，所以{1}∈Y，故A错误，易知B、C、D正确． √ √ √ √ 6．用适当的符号(⊆，⊇，∈，∉)填空： (1)(1,3)_____{(x，y)|y＝2x＋1}； 解析：当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}． (2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}； 解析：当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}． ∈　 ∈ (3)N＋_____N；(4)R_____Q. 解析：因为N＋为正整数集，N为自然数集，所以N＋⊆N.(4)因为R为实数集，Q为有理数集，所以R⊇Q. ⊆ ⊇ 逐点清(二)　 集合相等与子集的个数 02 多维理解 1．集合相等的概念 概念 一般地，如果集合A和集合B的元素_________，则称集合A与集合B相等，记作______，读作“A等于B” 图示 完全相同 A＝B 性质 (1)如果A⊆B且B⊆A，则______． (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． (3)如果A＝B且B＝C，则A＝C A＝B 续表 2．子集个数与元素个数的关系 设有限集合A有n(n∈N＋)个元素，则其子集的个数是____，真子集的个数是_______，非空子集的个数是______，非空真子集的个数是______. 2n 2n－1 2n－1 2n－2 微点练明 √ 1．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{1,0,2a＋3}，若A＝B，则a等于(　 ) A．－1或3 B．0或1 C．3 D．－1 解析：由A＝B有a2＝2a＋3，则a＝－1或a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，所以舍去；当a＝3时，A＝{0,1,9}＝B，满足条件，故选C． 解析：因为M＝{1,2,3}，所以M的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共7个，故选C． √ √ 3．若集合A＝{1,2}，B＝{0,1,2,3,4}，则满足A⊆M⊆B的集合M的个数为(　 ) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：满足A⊆M⊆B的集合M有{1,2}，{0,1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{0,1,2,3}，{0,1,2,4}，{1,2，3,4}，{0,1,2,3,4}，共8个． 4．集合A＝{－2，－1,1}，B＝{4,6,8}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B，x∈B}，则集合M的真子集的个数是(　 ) A．1 B．3 C．4 D．7 解析：由题意，集合A＝{－2，－1,1}，B＝{4,6,8}，则M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B，x∈B}＝{4,6}，所以集合M的真子集的个数为22－1＝3个，故选B． √ 逐点清(三)　根据集合的基本关系求参数的范围 03 [典例]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围. [解]　当B≠∅时，如图所示． [变式拓展] 1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 当B≠∅时，如图所示． 2．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}”改为“A＝{x|x＜－2或x＞5}，B＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：如图所示， 3．若本例条件“B A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅. 4．本例条件不变，是否存在实数m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在满足题意的实数m.若A＝B， 则必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此时无解，即不存在使得A＝B的实数m. |思|维|建|模| 已知集合的基本关系求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程． (2)若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示． (3)此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．　　 针对训练 √ 解析：依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分90分，选填小题每题5分) 1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　 ) A．－3∈A B．3∉B C．B⊆A D．A⊆B 解析：集合A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，所以B⊆A． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集个数为(　 ) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．(多选)下列关系中正确的是(　 ) A．0∈∅ B．∅∈{∅} C．∅⊆{∅} D．∅⊆{0} 解析：空集中没有元素，故A错误；{∅}中只有一个元素∅，故B正确；空集是任意集合的子集，故C、D正确． √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　 ) 解析：由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是(　 ) A．{1,8} B．{2,3} C．{1} D．{2} 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选A、C． √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 解析：集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，能被6整除的数一定能被3整除，所以B A． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．设A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　 ) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] 解析：因为A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x＜m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(多选)下列命题正确的是(　 ) A．集合{a，b}的真子集是{a}，{b} B．{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C．设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{－1，b}，若A＝B，则a－b＝－2 D．∅∈{x|x2＋1＝0，x∈R} √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，集合{a，b}的真子集是{a}，{b}，∅，故A不正确；对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形}，故B正确；对于C，由A＝B及集合元素的互异性得a＝－1，b＝1，故a－b＝－2，故C正确．对于D，因为x是实数，所以x2＋1＝0无解，所以{x|x2＋1＝0，x∈R}＝∅，故D不正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为___________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}，则集合M＝__________________.(写出一个集合M即可) 解析：因为集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}， 所以M＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}． {1,2}(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．设A＝[2,5]，B＝[2a，a＋3]，若B⊆A，则实数a的取值范围为_______． 解析：在数轴上标出区间A，B，如图所示． [1,2] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)已知集合A＝{1,2,3}． (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M； 解：∵M⊆A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． (2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(13分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 性质 (1)任意集合A都不是它自身的真子集． (2)空集是任意一个非空集合A的真子集，即∅____A． (3)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，BC，则________ AC |微|点|助|解|　 (1)理解真子集的概念时，需明确：AB，首先要满足A⊆B，只要满足至少有一个元素x∈B且x∉A．如集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A⊆B，且集合B中有两个元素不属于集合A，即3∉A,4∉A，满足至少有一个元素不属于集合A，故AB． (2)若A⊆B，且A≠B，则AB． 5．集合M＝与N＝之间的关系是(　 ) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M，N中没有共同的元素 解析：集合M＝，N＝，因为k∈Z表示所有的整数，2k±1表示所有的奇数，所以M⊆N. 2．已知集合M＝，则M的非空子集的个数是(　 ) A．15 B．16 C．7 D．8 ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． ∴解得即2≤m<3， 综上可得，m的取值范围是(－∞，3)． 要使BA，则或无解，∴m的取值范围为∅. ∴即∴m不存在． 即不存在实数m使A⊆B． (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　 ) A．2 B．1 C． D．－1 3．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　 ) A．AB B．BA C．A＝B D．A⊆B 解析：∵B＝＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴BA． 7．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是(　 ) A．A⊆B B．B⊆A C．AB D．BA 9．已知非空集合M满足对任意x∈M，总有x2∉M，且∉M.若M⊆{0,1,2,3,4,5}，则满足条件的M的个数是(　 ) A．11 B．12 C．15 D．16 解析：当M中有元素0时，02＝0∈M，＝0∈M.当M中有元素1时，12＝1∈M，＝1∈M，所以0∉M,1∉M，所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集，且去掉元素2,4同时出现的集合，故满足题意的集合M有{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,5}，{3,4,5}共11个． 1或－ 解析：由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0，可得a＝－. 即若满足关系有解得1≤a≤2. 故a的取值范围为[1,2]． 解：当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当a≠0时，B＝； 若B⊆A，则＝1或＝2或＝3， 解得a＝3或a＝或a＝1. 综上所述，实数a的取值集合为. 解：①当A无真子集时，即A＝∅时， 则方程ax2＋2x＋1＝0无实根， 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当a＝0时，方程化为2x＋1＝0， 解得x＝－，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意． 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}． $$