1.1.1 第2课时 集合的表示方法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版2019）  

集合的表示方法—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1．掌握集合的表示方法——列举法和描述法，会用这两种方法描述简单的集合问题． 2．会用集合中元素的共同特征描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形构成的集合． 3．理解区间的含义，能正确使用“区间”的符号表示一些集合． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　列举法 逐点清(二)　描述法 逐点清(三)　区间及其表示 4 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　列举法 01 多维理解 列举法的定义及一般形式 定义 把集合中的元素_________出来(相邻元素之间用_____分隔)，并写在________内，以此来表示集合的方法称为列举法 一般形式 {a1，a2，a3，…，an} 一一列举 逗号 大括号 |微|点|助|解|　 (1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序． (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{}”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素的规律显示清楚，然后加省略号． 微点练明 √ 1．下列命题正确的是(　 ) A．0与{0}表示同一个集合 B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2} D．集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 解析：由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，所以A错误；根据集合中元素的无序性，知B正确；根据集合元素的互异性，知C错误；由于该集合为无限集，且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以D错误． √ 2．已知集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝(　 ) A．{1} B．{2} C．{1,3} D．{1,2,3} 解析：因为集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，则M＝{x|x∈P，x∉Q}＝{1}． 3．用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； 解：因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}． (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； 解：方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}． (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； 解：将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}． (4)由所有正整数构成的集合． 解：正整数有1,2,3，…，故所求集合为{1,2，3，…}． 逐点清(二)　描述法 02 多维理解 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为________．这种表示集合的方法，称为__________描述法，简称为描述法． {x|p(x)} 特征性质 |微|点|助|解|　 1．描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式，是数，是点或有序实数组大不相同． (2)所有描述内容都要写在花括号内，如写法{x|x＝2k－1}，k∈Z，不符合要求，应写为{x|x＝2k－1，k∈Z}． 2．两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素：例如{x|P(x)}表示数集，{(x，y)|y＝P(x)}表示点集． (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)． 微点练明 √ 1．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　 ) A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} 2．(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为(　 ) A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≤4} C．{x|x≤9，x∈N＋} D．{x|0≤x≤9，x∈Z} √ √ 解析：对A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A正确；对B，{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B正确；对C，{x|x≤9，x∈N＋}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C错误；对D，{x|0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D错误． 3．用描述法表示下列集合： (1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合； 解：函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}． (2)不等式2x－3<5的解组成的集合； 解：不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}． (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合； (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合． 解：3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N＋}． 逐点清(三)　区间及其表示 03 多维理解 1．区间的概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ____________________ {x|a＜x＜b} 开区间 _________________ {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 _________________ {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 _________________ [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 2．其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 __________________ ______________ ______________ ______________ ______________ (－∞，＋∞) [a，＋∞) [a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a] |微|点|助|解|　 对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点； (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； (3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示； (4)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“＋∞”或“－∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号． 微点练明 √ 1．不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(　 ) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 解析：不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞)． √ 3．若[0,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是___________． 4．已知△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为______． 解析：因为△ABC的两边长AB＝2，BC＝3，所以BC－AB＜AC＜AB＋BC，即1＜AC＜5. (1,5) 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 04 [典例]　已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，求a的值． [变式拓展] 1．将本例中“只有一个”改为“有两个”，a的取值情况是什么． 解：若A中有两个元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以a≠0且Δ＝4－4a>0，即a<1且a≠0，故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}． 2．若将本例中“只有”改为“至多有”，求a的取值范围． 解：当a≠0时，若A中至多含有一个元素， 则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实根或没有实根． 由Δ＝4－4a≤0，得a≥1. 当a＝0时，由例题知方程有唯一解． 所以若A中至多有一个元素，a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}． 3．把本例中“只有”改为“至少有”，求a的取值范围． 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当a≠0时，由Δ≥0，得a≤1且a≠0；当a＝0时，由例题解析可知方程有唯一解．综上，a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}． |思|维|建|模| 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．　　 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ (满分90分，选填小题每题5分) 1．如果A＝{x|x>－1}，那么(　 ) A．－2∈A B．{0}∈A C．－3∈A D．0∈A 解析：∵0>－1，∴0∈A，故选D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为(　 ) A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1或x＝5} C．{x2－4x－5＝0} D．{－1,5} 解析：根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或x＝5，用列举法表示为{－1,5}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝3x－2，x∈A}表示正确的是　(　 ) A．B＝{3,6,9,12} B．B＝{1,2,3,4} C．B＝{1,4,7,10} D．B＝{－2,1,4,7} 解析：x∈A表示x的取值有1,2,3,4，对应的y值分别为1,4,7,10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是(　 ) A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A 解析：∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故D不成立，其余都成立． √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．第一象限的点组成的集合可以表示为(　 ) A．{(x，y)|xy>0} B．{(x，y)|xy≥0} C．{(x，y)|x>0且y>0} D．{(x，y)|x>0或y>0} 解析：第一象限的点的坐标满足x>0且y>0，用描述法可表示为{(x，y)|x>0且y>0}，故选C． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．(多选)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　 ) A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A 解析：集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，故A、B、C正确，D错误． √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．已知集合A＝{a2,0，－1}，B＝{a，b,0}，若A＝B，则(ab)2 023的值为(　 ) A．0 B．－1 C．1 D．±1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据集合中元素的互异性可知a≠0，b≠0， 因为A＝B，所以－1＝a或－1＝b， 当a＝－1时，b＝a2＝1， 此时(ab)2 023＝(－1)2 023＝－1； 当b＝－1时，则a2＝a，因为a≠0，所以a＝1，此时(ab)2 023＝(－1)2 023＝－1. 综上可知，(ab)2 023＝－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．设集合A＝{－1,0,1}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为(　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：易得集合B中的元素为(－1，－1)，(－1，0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9个元素．故选C． √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知区间(4p－1,2p＋1)，则p的取值范围为__________． 解析：由题意得4p－1<2p＋1，解得p<1，即p的取值范围为(－∞，1)． (－∞，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}，若A中只有一个元素，则a＝______；若A中有两个元素，则a的取值范围是__________________． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)用适当的方法表示下列集合． (1)不大于10的非负奇数集； 解：由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为{1,3,5,7,9}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}； 解：由集合A＝{x|x＝|x|，x∈Z且x<5}，则满足x≥0且x∈Z且x<5，所以x＝0,1,2,3,4， 所以集合A可表示为{0,1,2,3,4}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合． 解：由平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|， 所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x，y)||x|＝|y|}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. 2．不等式0＜2x－1≤3的解集用区间可表示为(　 ) A． B．(0,2] C． D． 解析：由0＜2x－1≤3，解得＜x≤2，用区间表示为.故选D． 解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a－1＞0，解得a＞.所以a的取值范围是. [解]　当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－，符合题意；当a≠0时，由Δ＝0，得a＝1，此时x＝－1. 所以若A中只有一个元素，则a的值为0或1. 3．方程组的解集是(　 ) A．(－5,4) B．(5，－4) C．{(－5,4)} D．{(5，－4)} 解析：解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D． 6．下列叙述正确的是(　 ) A．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1，－1} B．{x∈R|x2＋2＝0}＝＝∅ C．集合M＝{(x，y)|x＋y＝5，xy＝6}表示的集合是{2,3} D．集合{1,3,5}与集合{3,5,1}是不同的集合 解析：对于A，方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1}，故A错误；对于B，当x∈R时，方程x2＋2＝0无解，不等式组无解，故{x∈R|x2＋2＝0}＝＝∅，故B正确；对于C，由⇒或故M＝{(x，y)|x＋y＝5，xy＝6}＝{(2,3)，(3,2)}，故C错误；对于D，由集合中的元素满足无序性可知{1,3,5}＝{3,5,1}，故D错误． 12．已知集合A＝，写出一个满足A中有8个元素的m的值_________________． 解析：m的值可以是6，满足|m|≤9.要∈Z，所以x＝1，－1,2，－2,3，－3,6，－6.所以集合A中有8个元素． 0或　 解析：若A中只有一个元素，则当a＝0时，方程有一个根；当a≠0时，Δ＝1－4a＝0，即a＝，此时满足A中只有一个元素．故a＝0或a＝. 若A中有两个元素，即方程有两个不相等实根，此时应满足即a<且a≠0. (2)A＝； 解：由集合A＝， 可得1≤4－x≤6，解得－2≤x≤3且x∈Z， 当x＝－2时，可得＝1∈N，满足题意； 当x＝－1时，可得＝∉N，不满足题意； 当x＝0时，可得＝∉N，不满足题意； 当x＝1时，可得＝2∈N，满足题意； 当x＝2时，可得＝3∈N，满足题意； 当x＝3时，可得＝6∈N，满足题意， 所以集合A＝可表示为{－2，1,2,3}． 15．(13分)已知集合A＝，B＝，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合． 解：对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x＝1时，＝1；当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9. 所以A＝{1,7,9}，B＝{1,3,9}． 所以集合A与B有2个相同的元素，故集合A，B的相同元素组成的集合为{1,9}． $$