10.1.4 概率的基本性质（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

10.1.4 概率的基本性质 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解概率的基本性质. 2.掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 性质1　对任意的事件A,都有P(A)____0. 性质2　必然事件的概率为___,不可能事件的概率为___,即P(Ω)=____,P(∅)=____. 性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=____________. ≥ 1 0 0 P(A)+P(B) 1 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=________, P(A)=_________. 性质5　如果A⊆B,那么____________. 性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=___________________. 1-P(A) 1-P(B) P(A)≤P(B) P(A)+P(B)-P(A∩B) |微|点|助|解| (1)我们称性质3为互斥事件的概率加法公式.设样本空间Ω包含有n个样本点,当事件A与事件B互斥时,A与B不含有相同的样本点,此时n(A∪B)=n(A)+n(B),结合古典概型的概率公式即可得P(A∪B)==P(A)+P(B). (2)当一个事件的概率不易求解,但其对立事件的概率易求时,我们常利用性质4(对立事件的概率公式),使用间接法求解. (3)概率的加法公式 ①当A与B互斥(即AB= ∅)时,有P(A∪B)=P(A)+P(B),这称为互斥事件的概率加法公式. ②一般地,如果A1,A2,…,Am是两两互斥的事件,则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). ③P(A)+P()=1. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若A与B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1. (　　) (2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件. (　　) (3)某班统计同学们的数学测试成绩,事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”. (　　) (4)A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B). (　　) × × × × 2.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)等于 (　　) A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1 解析:∵A,B是互斥事件, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5.∵P(A)=0.2, ∴P(B)=0.5-0.2=0.3.故选A. √ 3.甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2,若不出现平局,那么乙获胜的概率为 (　　) A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.1 解析:乙获胜的概率为1-0.2=0.8. √ 4.若P(A∪B)=0.7,P(A)=0.4,P(B)=0.6,则P(A∩B)=　　　　.  解析:因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B), 所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.4+0.6-0.7=0.3. 0.3 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　互斥事件概率公式的应用 [例1]　(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点,设事件A为“出现1点”,B为“出现2点”.已知P(A)=P(B)=,求出现1点或2点的概率; 解:设事件C为“出现1点或2点”,因为事件A,B是互斥事件,由C=A∪B可得P(C)=P(A)+P(B)=+=,所以出现1点或出现2点的概率是. (2)盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=,P(B)=,求这3个球中既有红球又有白球的概率. 解:因为A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.所以这3个球中既有红球又有白球的概率是. |思|维|建|模| 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤 (1)确定各事件彼此互斥. (2)求各事件分别发生的概率,再求其和. [提醒]　(1)是公式使用的前提条件,不符合这点,是不能运用互斥事件的概率加法公式的. 1.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表: 计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率: 针对训练 年最高水位(单位:m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 (1)[10,16); 解:记该河流这一处的年最高水位(单位:m)在[8,10),[10,12), [12,14),[14,16),[16,18]分别为事件A,B,C,D,E,且彼此互斥. P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)[8,12); 解:P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)[14,18]. 解:P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24. 题型(二)　对立事件概率公式的应用 [例2]　甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求: (1)甲获胜的概率; 解:“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件, 所以“甲获胜”的概率P=1--=. 即甲获胜的概率是. (2)甲不输的概率. 解:法一:设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=. 法二:设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件, 所以P(A)=1-=.即甲不输的概率是. |思|维|建|模| 对立事件也是比较重要的事件,利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用. 2.某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,命中不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率. 解:记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件A,命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A3,A4.由题意知,A2,A3,A4彼此互斥, 针对训练 ∴P(A2∪A3∪A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76. 又∵A1与A2∪A3∪A4互为对立事件, ∴P(A1)=1-P(A2∪A3∪A4)=1-0.76=0.24. ∵A1与A2互斥,且A=A1∪A2, ∴P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.24+0.28=0.52. 题型(三)　概率性质的综合应用 [例3]　袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率; 解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A,B,C,D,它们彼此互斥,则P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=, P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-=.则联立解得P(B)=,P(C)=,P(D)=, 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为,,. (2)从中任取一球,求得到的不是红球也不是绿球的概率. 解:事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D,由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)=P(A)+P(D)=+=,故得到的不是红球也不是绿球的概率P=1-P(A∪D)=1-=. |思|维|建|模| 求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. 3.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为,中二等奖或三等奖的概率是. (1)求任取一张,中一等奖的概率; 针对训练 解:设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=,P(B+C)=P(B)+P(C)=. 由对立事件的概率公式得P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1--=, 所以任取一张,中一等奖的概率为. (2)若中一等奖或二等奖的概率是,求任取一张,中三等奖的概率. 解:因为P(A+B)=P(A)+P(B)=,所以P(B)=-=. 又P(B+C)=P(B)+P(C)=,所以P(C)=,所以任取一张, 中三等奖的概率为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　) A. B. C. D. √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为+=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是 (　　) A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 解析:∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件, ∴摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是 (　　) A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件 B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件 D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A+B+C+D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示. 由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是 对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和 事件也是对立事件,故只有D中的说法正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在4.8~4.85 g范围内的概率是 (　　) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 解析:设“质量小于4.8 g”为事件A,“质量小于4.85 g”为事件B, “质量在4.8~4.85 g”为事件C,则A+C=B,且A,C为互斥事件, 所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C),则P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 (　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 √ 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥, P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥, 则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,所以A、B、C都正确,D不正确. 故选A、B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)=　　　　.  解析:因为P(C)=0.6,事件B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7. 0.7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P(A)=　　　　.  解析:因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=. 又因为P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,解得P(A)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心 圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分 别为0.35,0.30,0.25,则不命中靶的概率是　　　　.  解析:设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90,即P(D)=1-0.90=0.10. 0.10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示: 派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求有4人或5人外出家访的概率; 解:设A=“派出2人及以下”,B=“3人”,C=“4人”,D=“5人”,E=“6人及以上”. “有4人或5人外出家访”的事件为事件C或事件D,且C,D为互斥事件. 根据互斥事件概率的加法 P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求至少有3人外出家访的概率. 解: “至少有3人外出家访”的对立事件为“2人及以下”, 所以由对立事件的概率,P=1-P(A)=1-0.1=0.9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(15分)某班选派5人参加学校举办的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下: 获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值; 解:记事件“在竞赛中,有k人获奖”为Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥. ∵获奖人数不超过2人的概率为0.56, ∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得x=0.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y,z的值. 解:由获奖人数最多4人的概率为0.96, 得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44, 得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表: 已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 (　　) 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别为A',B',C',D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,A正确;B型血的人能为B型,AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人,D正确.故选A、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中,随机不放回地摸球两次,每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为,“两个球都是白球”的概率为,则“两个球颜色不同”的概率为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设“两个球都是红球”为事件A,“两个球都是白球”为事件B,“两个球颜色不同”为事件C,则P(A)=,P(B)=,且=A∪B.因为A,B,C两两互斥,所以P(C)=1-P()=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)]=1--=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有　　　　人.  解析:可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.再由题意得n-n=12,解得n=120. 120 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(17分)某品牌计算机售后保修期为1年,根据大量的维修记录资料,这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%. (1)某人购买了一台这个品牌的计算机,设Ak=“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,请填写下表: 事件A0,A1,A2,A3是否满足两两互斥? 事件 A0 A1 A2 A3 概率         1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:因为一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%,则有P(A1)=0.15,P(A2)=0.06,P(A3)=0.04, 显然事件A0,A1,A2,A3中,任意两个事件不可能同时发生,因此事件A0,A1,A2,A3两两互斥,于是得P(A0)=1-(0.15+0.06+0.04)=0.75, 填表如下: 所以事件A0,A1,A2,A3满足两两互斥. 事件 A0 A1 A2 A3 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求下列事件的概率: ①A=“在1年内需要维修”; ②B=“在1年内不需要维修”; ③C=“在1年内维修不超过1次”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:①由(1)知,“在1年内需要维修”的事件,即事件A1,A2,A3至少有一个发生,而它们两两互斥, 所以P(A)=P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.25. ②“在1年内不需要维修”的事件,即事件A0发生,所以P(B)=P(A0)=0.75. ③“在1年内维修不超过1次”的事件,即事件A0,A1至少发生一个,所以P(C)=P(A0+A1)=P(A0)+P(A1)=0.9. $$