7.1.2 复数的几何意义（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

7.1.2 复数的几何意义 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 2.理解共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做_____,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示_______. 虚轴 纯虚数 2.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点_______. (2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量. Z(a,b) |微|点|助|解| (1)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数. (2)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数. 3.复数的模 (1)定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的____或________. (2)记法:复数z=a+bi的模记作__________. (3)公式:|z|=______=____________. (4)模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离. 模 绝对值 |z|或|a+bi| |a+bi| 4.共轭复数 (1)定义:当两个复数的实部______,虚部____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_________. (2)表示:复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi. (3)性质:①=z. ②实数的共轭复数是它本身,即 =z⇔z∈R. 相等 互为相反数 共轭虚数 基础落实训练 1.已知复数z=-i,则复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1) 解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).故选A. √ 2.已知复数z=-3i,则复数的模|z|是(　　) A.5 B. C.6 D. 解析: |z|==. √ 3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 (　　) A.1或3 B.1 C.3 D.2 解析:依题意可得 =2,解得m=1或m=3,故选A. √ 4.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数 等于(　　) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 解析:因为复数z=-2+i,所以复数z的共轭复数=-2-i. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　复数与复平面内点的关系 [例1]　实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点: (1)位于第二象限; 解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点为Z(a2+a-2,a2-3a+2). 由点Z位于第二象限得解得-2<a<1. 故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1). (2)位于实轴上方; 解:由点Z位于实轴上方得a2-3a+2>0, 解得a>2或a<1,故满足条件的实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞). (3)位于直线y=x上. 解:由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1. |思|维|建|模| 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. [提醒]　复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示. 1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限. √ 针对训练 2.在复平面内,若表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) 　　　B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　D.(-1,1) 解析:因为表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,所以 解得m<-1.故选A. √ 题型(二)　复数与复平面内向量的关系 [例2]　(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　) A.4+80i B.8+2i C.2+4i D.4+i 解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i. √ (2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解析:由复数的几何意义,可得=(5,-4),=(-5,4),所以+= (5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数为0. √ |思|维|建|模| 复数与向量的对应和转化 对应 复数z与向量是一一对应关系 转化 复数的有关问题转化为向量问题求解 3.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 解析:复数对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.故选B. √ 针对训练 4.已知O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是(　　) A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 解析:由复数的几何意义,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)- (-3,2)=(5,-5),所以对应的复数是5-5i. √ 题型(三)　复数的模 [例3]　(1)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==,故选B. √ (2)复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是 (　) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 解析:由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3.当|z|=时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为的圆.当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为3的圆. √ (1)复数z=a+bi模的计算:|z|=. (2)复数模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离. (3)转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想 |思|维|建|模| 5.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项正确的是 (　　) A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| 解析:|z1|=|5+3i|==,|z2|=|5+4i|==. 因为<,所以|z1|<|z2|. √ 针对训练 6.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 (　　) A.5π B.9π C.16π D.25π 解析:满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹 是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在 复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆, 则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C. √ 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若z是实数,则z= B.若z=,则z是实数 C.若=-z,则z是纯虚数 D.若z是纯虚数,则=-z √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·新课标 Ⅱ 卷)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 解析:由z=-1-i,得|z|==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由已知可得,=-3-2i,故 对应的点为(-3,-2),位于第三象限. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与 关于y轴对称,则点B对应的复数是(　　) A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i 解析:设向量对应的复数为a+bi(a,b∈R),对应复平面的坐标为(a,b).因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为(5,3).因为与关于y轴对称,所以a=-5,b=3.即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的是 (　　) A.复数z的虚部为i B.|z|= C.复数z的共轭复数=1-i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为复数z=1+i,所以其虚部为1,故A错误;|z|==,故B正确;复数z的共轭复数=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.故选B、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a=　　,|z|=　　　.  解析:∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数, ∴解得a=1.∴z=2i.∴|z|=2. 1 　2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则z=__________ ________(写出一个即可)  解析:设z=a+bi,a,b∈R,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所以a<0,b>0.又因为|z|=2,所以a2+b2=4.显然当a=-1,b=时,符合题意. 1+i(答案 不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在复平面内,O是坐标原点,向量对应的复数是-2+i,若点A关于实轴的对称点为点B,则向量对应的复数的模为　　　.  解析:∵向量对应的复数是-2+i,∴A(-2,1).又点A关于实轴的对称点为点B,∴B(-2,-1).∴向量对应的复数为-2-i,该复数的模为|-2-i|= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模. z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i. 解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2,Z3(-2,0),Z4(2,2), 则向量,,,分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 如图所示.各复数的模分别为|z1|= =;|z2|== 1;|z3|==2;|z4|==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A. (1)若点A在第二象限,求实数m的取值范围; 解:由解得-3<m<-2或1<m<2.故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(1,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求|z|的最小值及此时实数m的值. 解:|z|2=+, 令m2+m-2=t,∵t=-, ∴t∈,则|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,所以当t=2,即m=时, |z|有最小值2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知复平面内A,B,C三点所对应的复数为-2-i,1+i,2i,若ABCD为平行四边形,则||=(　　) A.13 B. C.17 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:A,B,C三点对应的复数分别是-2-i,1+i,2i,则复平面内A,B,C三点对应点的坐标为A(-2,-1),B(1,1),C(0,2).设复平面内点D的坐标为D(x,y),则=(3,2),=(-x,2-y),又ABCD是复平面内的平行四边形,则=,则解得则D(-3,0),则=(-4,-1),||= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是 (　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为 ,且z=,则z是实数 C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为 ,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=.又a+b=1,即b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于.D错误.故选B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与,已知z1=+i,⊥,且||=||,则复数z2=　　 .  解析:由题意得=(,1),设=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,联立解得或即=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i. 1-i或-1+i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. (1)求向量,,对应的复数; 解:由复数的几何意义知,=(1,0),=(2,1),=(-1,2), 所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)判定△ABC的形状. 解:因为||=,||=2,||=,所以||2+||2=||2, 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+ icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z. (1)求复数z; 解:因为点A,B对应的复数分别是 z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ, 所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ). 所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ), 所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值. 解:由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ), 代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=, 所以sin θ=±.又因为θ∈(0,π), 所以sin θ=,所以θ=或θ=. $$