6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

余弦定理、正弦定理应用举例 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 第3课时 课时目标 1.认识实际测量中的有关名称和术语. 2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　测量距离问题 题型(二)　测量高度问题 题型(三)　测量角度问题 4 课时跟踪检测 1.基线的概念与选择原则 (1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线. (2)性质:在测量过程中,为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.测量中的有关概念 (1)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1,θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0°≤θ<360°. (2)方向角:指以观测者为中心,正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,图1中表示北偏东30°,图2中表示南偏西60°. (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图3所示. (4)视角:观测者的两条视线之间的夹角叫做视角. (5)坡角与坡度: 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度,如图所示,α为坡角,坡比i==tan α. 题型(一)　测量距离问题 01 [例1]　如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少? 解:由正弦定理得 AC= ===10(1+)(m), BC===20(m). 在△ABC中,由余弦定理得 AB= =10(m). ∴A,B两点间的距离为10 m. |思|维|建|模| 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决. 1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是(　　) A.60　 B.60(+1)　 C.30　 D.30(+1) √ 针对训练 解析:由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°, ∴CD==15(3+),BD==15(-1), ∴BC=CD-BD=60.故选A. 题型(二)　测量高度问题 02 [例2]　如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD. 解:由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°, 所以CD=AD. 在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°, 由=,得AD===800(+1)(m). 即山的高度为800(+1)m. |思|维|建|模| 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题. (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 2.如图,测量河对岸平面内的两点C与D.现测得∠BCD的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB. 针对训练 解:在△BCD中,∠CBD=π-(α+β).由正弦定理得=. ∴BC==. 在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=. 题型(三)　测量角度问题 03 [例3]　某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF=　　　　.  解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得 DF===10(m), DE= = =100(m), EF= = =130(m). 在△DEF中,由余弦定理的推论,得cos∠DEF===-. |思|维|建|模| (1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题. (2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量. 3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿_________方向前进才能最快追上乙船,相遇时乙船行驶了　　n mile.  针对训练 北偏东30° a 解析:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ, 乙船行驶距离BC为x n mile,则AC=x,由正弦定 理得sin θ==,而θ<60°,∴θ=30°. ∴∠ACB=30°,BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°, ∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 (　　) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120° =700,∴AC=10(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图所示,在△PMN中,=,∴MN==34. ∴v==(n mile/h).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为 (　　) A.20 m B.30 m C.40 m D.60m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,设O为建筑物的顶端A在地面的射影,在Rt△BOD 中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,OD=20.在Rt△AOD中, OA=OD·tan 60°=60.∴AB=OA-OB=40.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为　　　 km.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB===(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为　　　　 h.  解析:设t h时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cos 45°=302.化简,得4t2-8t+7=0,∴t1+t2=2,t1t2=.从而|t1-t2|==1(h). 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图,在一场足球比赛中,甲同学从点A处开始做匀速直线运动,到达点B时,发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动,已知cos∠BAC=,AB=3 m,AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间,则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处　　　 m的点. 5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D,CD=x,则BD=2x, AD=7-x,所以在△ABD中,cos A==,整理可得15x2+52x-164=(15x+82)(x-2)=0,解得x=2或x=-(舍去).故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(8分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)求A,C两地的距离. 解:由题意,设AC=x m, 则BC=x-×340=(x-40)m. 在△ABC中,由余弦定理,得 BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420. 所以A,C两地间的距离为420 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒) 解:在Rt△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°, 所以CH=ACtan∠CAH=140 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格? 解:如图所示,考点为A,检查开始处为B, 设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到 信号,即公路上C,D两点到考点的距离为1 km. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在△ABC中,AB=(km), AC=1(km),∠ABC=30°, 由正弦定理,得sin∠ACB=×AB=, ∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意). ∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(km). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60°, ∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km). ∵×60=5,∴在BC上需5 min,CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号,并持续至少5 min才算合格. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为(　　) A.50 m B.50 m C.50 m D.50 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设该扇形的半径为r,连接CO,如图所示.由题意,得CD=150(m), OD=100(m),∠CDO=60°,在△CDO中,由余弦定理得,CD2+OD2- 2CD·OD·cos 60°=OC2,即1502+1002-2×150×100×=r2,解得 r=50(m). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=12 m.②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC =.⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为(　　) A.10 m B.12 m C.12 m D.12 m √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:选①②③⑤,如图所示,则∠ABO=60°,∠ACO=45°, 设OA=x,则OC=OA=x,OB= .在△BOC中, 利用余弦定理BC2=122=x2+-2x··, 解得x=12,即OA=12 m,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是　　　　m.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知∠ACB =120°,且AC=BC,过C作AB的垂线交AB于D,在Rt△CBD中,DB=500 m, ∠DCB=60°,所以BC= m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.如图,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据得cos θ=　　　.  -1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: ∵∠DBC=45°,∠DAC=15°,∴∠BDA=30°.在△ABD中,由正弦定理有=,即=,即BD=100sin 15° =100×=25(-).在△BCD中,由正弦定理有=,即=,所以sin∠BCD=-1, 因此cos θ=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上. (1)求渔船甲的速度; 解:依题意,知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10. 在△ABC中,由余弦定理, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120° =196, 解得BC=14,v甲==7 n mile/h, 所以渔船甲的速度为7 n mile/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求sin α. 解:在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α. 由正弦定理,得=, 即sin α===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(13分)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告; 注:测量报告中包括你使用的工具、测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式; 解:选用测角仪与米尺即可,如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上; ②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,CD=a,测得测角仪的高度是h; ③经计算得建筑物的高度 AB=+h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差原因进行说明. 解:①测量工具问题; ②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度. (答案不唯一) $$