6.4.3 第2课时 正弦定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

正弦定理 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.能借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系. 2.掌握正弦定理,并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.正弦定理 2.正弦定理的常见变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). (2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径). (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (4)===. (5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 3.三角形面积公式 (1)S△ABC=bcsin A=_________=__________,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值的乘积的一半.  (2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长. (3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. acsin B absin C |微|点|助|解| 对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形. (　　) (2)在△ABC中,若a>b,则必有sin A>sin B. (　　) (3)在△ABC中,若sin A=sin B,则必有A=B. (　　) (4)正弦定理只适用于锐角三角形. (　　) (5)在一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值. (　　) × √ √ × √ 2.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是 (　　) A. B. C. D. 解析:根据正弦定理得==.故选A. √ 3.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,A=,B=,则b=(　　) A.1 B. C. D.2 解析:由=,得=, ∴2sin =bsin ,即2×=b×,解得b==. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知两角和一边解三角形 [例1]　在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c. 解:由已知,得A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 由=,得c====4(+1).所以A=45°,c=4(+1). |思|维|建|模| 已知任意两角和一边,解三角形的步骤 (1)求角:根据三角形内角和定理求出第三个角; (2)求边:根据正弦定理,求另外的两边. 已知内角不是特殊角时,往往先求出其正弦值,再根据以上步骤求解. 1.一个三角形的两个角分别等于120°和45°,若45°角所对的边长是4,那么120°角所对边长是( ) A.4 B.12 C.4 D.12 解析:若设120°角所对的边长为x,则由正弦定理可得=,于是x===12,故选D. √ 针对训练 2.在△ABC中,若B=135°,C=15°,a=5,则此三角形的最大边长为 (　　) A.5 B.4 C.5 D.4 解析:根据题意得A=180°-135°-15°=30°,则此三角形的最大边是b,由正弦定理=,得b===5. √ 题型(二)　已知两边及一角解三角形 [例2]　在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 解:∵=, ∴sin C===. ∵0°<C<180°,∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. ∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,试判断角A有几个值? 解:∵=,∴sin A===. ∵c=>2=a,∴C>A. ∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. 变式拓展 |思|维|建|模| 1.已知两边及其中一边的对角,解三角形的步骤 (1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值,进而求出这个角,注意是否有两组解; (2)用三角形内角和定理求出第三个角; (3)根据正弦定理求出第三条边. 2.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下   A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形(　　) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解析:由正弦定理和已知条件得=,∴sin B=>1.∴此三角形无解.故选C. √ 针对训练 4.在△ABC中,a=1,b=,A=30°,求边c的长. 解:由=,得sin B==. ∵a<b,∴B>A=30°,∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°. 此时,c= ==2.当B=120°时, C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1. 综上所述,c=1或c=2. 题型(三)　正、余弦定理的综合应用 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A. 解:法一:(辅助角公式) 由sin A+cos A=2,可得sin A+cos A=1,即sin=1, 由于A∈(0,π)⇒A+∈,故A+=,解得A=. 法二:(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1,消去sin A得到4cos2A-4cos A +3=0⇔(2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解:由题设条件和正弦定理得,bsin C=csin 2B⇔sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得到B=, 于是C=π-A-B=, sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理==, 即==,解得b=2,c=+,故△ABC的周长为2++3. 利用正、余弦定理解三角形的注意点 　　正、余弦定理都是用来解三角形的,但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,应抓住两个定理的特点:正弦定理“边对角”,余弦定理“边夹角”,正确选择定理是解决此类题目的关键. |思|维|建|模| 5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin B+=0,则△ABC的形状一定为(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 针对训练 √ 解析:在△ABC中,sin A-sin B+=0, 则由正弦定理得(sin A-sin B)+=·(sin A-sin B)=0. 因为三角形中,A,B,C∈(0,π),所以sin C>0⇒+1≠0. 所以sin A=sin B⇒a=b,则△ABC的形状一定为等腰三角形.故选B. 6.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　.  解析:在△ABC中,根据正弦定理,得=,即=,解得sin B=1.因为0°<B<120°,所以B=90°,所以C=30°,所以△ABC的面积S△ABC=AC·BC·sin C=2. 2 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)在△ABC中,若a=,b=,B=,则A的可能取值为(　　) A. B. C. D. 解析:由正弦定理得sin A===,又A∈(0,π),a>b,所以A>B.所以A=或A=. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由题意有=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是 (　　) A.在△ABC中,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C B.在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则a=b C.在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B;若A>B,则sin A>sin B D.在△ABC中,= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由正弦定理易知A、C、D正确.由sin 2A=sin 2B,可得A=B,或2A+2B=π,即A=B或A+B=,∴a=b或a2+b2=c2,B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是 (　　) A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° 解析:对于A,∵b=7,c=3,C=30°, ∴由正弦定理可得sin B===>1,三角形无解; 对于B,∵b=5,c=4,B=45°, √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴由正弦定理可得sin C===<1,且c<b,∴三角形有一解; 对于C,∵a=6,b=3,B=60°, ∴由正弦定理可得sin A===1, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴A=90°,此时C=30°,三角形有一解. 对于D,∵a=20,b=30,A=30°, ∴由正弦定理可得sin B===<1,且b>a, ∴三角形有两解.故选B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,C=,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的取值范围是(　　) A. B.(,2) C.(1,2) D.(1,) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:在△ABC中,根据正弦定理=,即=,所以sin A=x,由题意可得,当A∈时,满足条件的△ABC有两个,所以<x<1,解得<x<2.则x的取值范围是(,2).故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC外接圆的面积为4π,请写出一组满足上述条件的边和角:a=　　,A=　 　　　.  解析:依题意,△ABC的外接圆半径R=2,由正弦定理得=2R=4,即a=4sin A,又0<A<π,取A=,则a=2. 2　 (答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在钝角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,A=30°,c=,则△ABC的面积为　　　.  解析:在钝角△ABC中,由a=1,A=30°,c=,利用正弦定理可知C=120°,得到B=30°,利用面积公式得S△ABC=×1××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则+ +=　　.  解析: ∵△ABC的外接圆直径为2R=2,∴===2R=2, ∴++=2+1+4=7. 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长. 解:设△ABC中,A=45°,B=60°, 则C=180°-(A+B)=75°. 因为C>B>A,所以最小边为a.又因为c=1,由正弦定理,得a===-1, 所以最小边长为-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)在△ABC中,已知b2=ac,a2-c2=ac-bc. (1)求角A的大小; 解:由题意知,b2=ac,a2-c2=ac-bc⇒cos A===. ∵A∈(0,π),∴A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值. 解:由b2=ac,得=, ∴=sin B·=sin B·=sin A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:法一:由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以sin Asin C =sin2B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C =sin Asin C=.又sin A>0,sin C>0,所以sin A+sin C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.又b2=ac,所以3ac=b2,所以(a+c)2=b2+3ac=,a+c=b.由正弦定理得sin A+sin C =sin B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A∶sin B∶sin C =3∶4∶5,则下列结论正确的是 (　　) A.a∶b∶c=3∶4∶5 B.△ABC为直角三角形 C.若b=4,则△ABC外接圆半径为5 D.若P为△ABC内一点,满足+2+=0,则△APB与△BPC的面积相等 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=3∶4∶5,A正确;由A知a∶b∶c=3∶4∶5,故a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,B正确;由B知,sin B=,又b=4,由正弦定理得2R===5,故△ABC外接圆半径为R=,C错误;取AC的中点E,则+=2,因为+2+=0,所以=-,即P点在AC的中线上,故△APB与△BPC的面积相等,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角的正切值为　　 .  解析:不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=.整理得(3-)sin A=(3+)cos A.∴tan A=2+. 2+ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,且b(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=6S. (1)求角B的大小; 解:由S=absin C及b(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=6S, 得(a-b+c)(sin A+sin B+sin C)=3asin C. 由正弦定理得(a-b+c)(a+b+c)=3ac, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得cos B===, 因为0<B<π,所以B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a=b+1,c=b-2,求cos A,cos C的值. 解:因为a2+c2-b2=ac,a=b+1,c=b-2, 所以(b+1)2+(b-2)2-b2=(b+1)(b-2), 解得b=7,所以a=8,c=5. 所以cos A===, cos C===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; 解:因为D为BC的中点, 所以S△ABC=2S△ADC=2××AD×DCsin∠ADC=2××1×DC×=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解得DC=2,所以BD=DC=2,a=4. 因为∠ADC=,所以∠ADB=. 在△ABD中,由余弦定理,得c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=1+4+2=7,所以c=. 在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin B==, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以cos B==. 所以tan B==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若b2+c2=8,求b,c. 解:因为D为BC的中点,所以BC=2BD. 在△ABD与△ABC中,由余弦定理,得cos B==, 整理,得2BD2=b2+c2-2=6, 得BD=,所以a=2. 在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC===-, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以S△ABC=bcsin∠BAC=bc=bc= =,解得bc=4. 则由解得b=c=2. $$