6.4.3 第1课时 余弦定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

6.4.3 余弦定理、正弦定理 余弦定理 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,了解余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其变形,并能利用余弦定理解决相关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.余弦定理 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有 文字语言 三角形中任何一边的平方,等于________________________ ________________________________ 符号语言 a2=______________,b2=_____________,c2=______________ 推论 cos A=,cos B=,cos C= 其他两边平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 2.解三角形的定义 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__________. 元素 解三角形 |微|点|助|解| (1)余弦定理的特点 ①适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. ②揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系,它含有四个不同的量,知道其中的三个量,就可求得第四个量. (2)余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.在△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角;c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角. (3)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 ①已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形. ②若已知两边和一边的对角,可以用余弦定理解三角形. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广. (　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的. (　　) (3)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. (　　) (4)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例. (　　) (5)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况. (　　) √ √ √ √ × 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=1,B=60°,则A= (　　) A. B. C. D. 解析:因为b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×=3,所以b=. 因为a2=b2+c2,所以△ABC为直角三角形,且AB⊥AC,故A=. √ 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=3,cos A=,则b=(　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即6=b2+9-2b×3×, 整理可得b2-4b+3=0,解得b=1或b=3. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中,已知b=3,c=2,A=30°,求a的值; 解:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3.所以a=. (2)在△ABC中,已知b=3,c=3,B=30°,解这个三角形. 解:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°, 即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6. 当a=3时,A=B=30°,C=120°; 当a=6时,由余弦定理得cos A==0, 又0°<A<180°,所以A=90°,C=60°. 综上,当a=3时,A=30°,C=120°; 当a=6时,A=90°,C=60°. |思|维|建|模| 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角,可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角,则直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=,B=60°,则c=(　　) A.1 B. C.3 D.1或3 解析:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得7=4+c2-2c,即(c-3)(c+1)=0,解得c=3.故选C. √ 针对训练 2.△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若cos B=,c=5,a=3,则b=(　　) A. B. C. D. 解析:由cos B=,c=5,a=3以及余弦定理得b= ==,故选D. √ 题型(二)　已知三边(或三边关系)解三角形 [例2]　在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C的大小. 解:根据余弦定理的推论,得 cos A= ==. ∵A∈(0,π),∴A=. cos C===.∵C∈(0,π), ∴C=.∴B=π-A-C=π--=,∴A=,B=,C=. |思|维|建|模| 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 3.若△ABC的三边长分别为3,6,7,则该三角形最大角的余弦值为 (　　) A.- B. C. D. 解析:因为大边对大角,所以边长为7的边所对的角为最大角,设为θ,则cos θ==-,故选A. √ 针对训练 4.若三角形三边长之比是1∶∶2,则其所对角之比是(　　) A.1∶2∶3 B.1∶∶2 C.1∶∶ D.∶∶2 解析:设三角形三边长分别为m,m,2m(m>0),最大角为A,则cos A==0,∴A=90°.设最小角为B,则cos B==,∴B=30°,∴C=60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. √ 题型(三)　判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状. 解:将已知等式变形为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理,得 b2+c2-b2-c2 =2bc××, ∴b2+c2===a2. ∴A=90°.∴△ABC是直角三角形. 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解. |思|维|建|模| 5.在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sin A=2sin B·cos C,试确定△ABC的形状. 解: ∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc.而a2=b2+c2-2bccos A, ∴2cos A=1.∴cos A=.∴A=60°. 针对训练 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, sin A=2sin B·cos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0,∴B=C. 又∵B+C=120°,∴A=B=C=60°. 故△ABC为等边三角形. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 解析:由余弦定理,得cos 120°=.化简,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=4,c=3,则B+C等于(　　) A. B. C. D. 解析:在△ABC中,由余弦定理得cos A===,而0<A<π,则A=,所以B+C=π-A=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则(　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:由a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b<c,得b=2.又a=2,cos A=,所以B=A=30°,故选A、D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:在△ABC中,因为A=60°,a2=bc,所以由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,所以bc=b2+c2-bc,即(b-c)2=0,所以b=c,结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=,a=4,则bc的最大值为(　　) A. B.16 C. D.32 √ 解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,因为A=,a=4,所以16=b2+c2-bc.因为b2+c2≥2bc,所以16+bc≥2bc,即bc≤16,当且仅当b=c=4时等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中,a=8,c=7,cos A=,则b=　　,∠C=　　　　.  解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49,故b2-2b-15=0,故b=-3(舍去)或b=5,故cos∠C==,而∠C为三角形内角,故∠C=. 5　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知2,4,a是一个锐角三角形的三边长,请写出一个a的值　 　 　.  解析:因为2,4,a是一个锐角三角形的三边长, 所以解得2<a<2,任取一个a的值4. 4(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是　　.  解析: ∵在△ABC中,a=8,b=7,cos C=,∴由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=64+49-104=9,即c=3.∴最大内角为A,则cos A===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,求三边长. 解:由得 ∴a>b>c.∴A=120°. ∴a2=b2+c2-2bccos 120°. 即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×, 即b2-10b=0,解得b=0(舍去)或b=10. 当b=10时,a=14,c=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)在△ABC中,a+c=6,b=2,cos B=,求a,c的值. 解:由余弦定理,得cos B=, 有=,得a2+c2=ac+4, 由a+c=6,得(a+c)2=a2+2ac+c2=36, 所以ac+4=36-2ac,解得ac=9, 所以解得a=3,c=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为(　　) A.7.5 B.7 C.6 D.5 解析: ∵bcos A+acos B=c2,∴由余弦定理可得b·+a·=c2.整理可得2c2=2c3,解得c=1.则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,对于△ABC,有如下命题,其中正确的有 (　　) A.sin(B+C)=sin A B.cos(B+C)=cos A C.若a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形 D.若a2+b2<c2,则△ABC为锐角三角形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:依题意,△ABC中,B+C=π-A,sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,A正确; cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,B不正确;因为a2+b2=c2,则由余弦定理得cos C ==0,而0<C<π,即有C=,所以△ABC为直角三角形,C正确;因为a2+b2<c2,则cos C=<0,而0<C<π,即有<C<π,所以△ABC为钝角三角形,D不正确.故选A、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　.  解析:法一:由余弦定理得cos 60°=,整理得AC2-2AC-2=0,得AC=1+.又S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以×2ACsin 60°=×2ADsin 30°+AC·ADsin 30°, 所以AD===2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二:由角平分线定理得=,又BD+CD=,所以BD=,CD=.由角平分线长公式得AD2=AB·AC-BD·CD=2AC-,又由法一知AC=1+,所以AD2=2+2-=2+2-(2-2)=4,所以AD=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根, 2cos(A+B)=1. (1)求C的大小; 解: ∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),∴C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求AB的长. 解: ∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10.∴AB=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-. (1)求B的大小; 解:由余弦定理,得cos B=, cos C=, ∴原式化为·=-, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 整理,得a2+c2-b2+ac=0, ∴cos B===-. 又0<B<π,∴B=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若b=,a+c=4,求a的值. 解:将b=,a+c=4,B=, 代入b2=a2+c2-2accos B,得 13=a2+(4-a)2-2a(4-a)cos, 即a2-4a+3=0.解得a=1或a=3. $$