6.3.1 平面向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

6.3.1 平面向量基本定理 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解平面向量基本定理及其意义,会判断两个向量能不能作为一个基底. 2.了解向量基底的含义.在平面内,当一个基底确定后,会用这个基底来表示其他向量. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 平面向量基本定理的定义 条件 e1,e2是同一平面内的两个____________ 结论 对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=_________ 基底 若e1,e2不共线,把_______叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量 λ1e1+λ2e2 {e1,e2} |微|点|助|解| 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. (3){e1,e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.(　　) (2)零向量可以作为基向量. (　　) (3)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的. (　　) × × × 2.设O为平行四边形ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于(　　) A. B. C. D. 解析:如图,==(-)=2e1-3e2. √ 3.如图所示,向量可用向量e1,e2表示为　　　　.  4e1+3e2 4.已知向量a,b不共线,若λa+b=-a+μb,则λ=　　,μ=　　.  解析:∵λa+b=-a+μb, ∴(λ+1)a+(1-μ)b=0.又∵a,b不共线, ∴λ+1=0且1-μ=0.即λ=-1,μ=1. -1 1 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　对平面向量基本定理的理解 [例1]　(多选)设e1, e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,能作为平面向量的一个基底的是(　　) A.e1+e2和e1-e2 B. e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D. e2和e2+e1 √ √ √ 解析:e1+e2和e1-e2没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;e1+2e2和e2+2e1没有倍数关系,二者不共线,可作为平面向量的一个基底;4e2-6e1=-2(3e1-2e2),二者是共线向量,不能作为平面向量的一个基底;e2和e2+e1不共线,可作为平面向量的一个基底.故选A、B、D. |思|维|建|模|　 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示. 1.如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一对向量是 (　　) A., B., C., D., 解析:由题中图形可知与,与,与共线,不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量.故选B. √ 针对训练 2.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,若{a,b}能作为一个基底,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　.  解析:若{a,b}能作为一个基底,则向量a,b不共线.由题可知,若向量a,b共线,则有λ=4,故当向量a,b不共线时,λ≠4,即实数λ的取值范围是(-∞,4)∪ (4,+∞). (-∞,4)∪(4,+∞) 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图所示,已知▱ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,若=a,=b,试以{a,b}为基底表示,. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, E,F分别是BC,DC边上的中点, ∴==2,==2. ∴==b,==-=-a. ∴=++=-++=-b+a+b=a-b, =+=+=b-a. 1.在本例中,若取=x,=y,以{x,y}作为一个基底,试用x,y表示,. 解:依题意x=a+b,y=a-b,∴x+y=2a,x-y=2b.∴a=(x+y),b=(x-y). 于是=a-b=(x+y)-(x-y)=x+y, =b-a=(x-y)-(x+y)=x-y. 变式拓展 2.在本例中,若取=e,=f,以{e, f}作为一个基底,试用e, f表示. 解:由例2,知=a-b=e,=b-a=f. 解得a=e+f,b=e+ f. ∴=a-b=e+ f-=e- f. |思|维|建|模|　 用基底表示向量的依据和两个“模型” (1)依据: ①向量加法的三角形法则和平行四边形法则; ②向量减法的几何意义,向量的数乘的几何意义. (2)模型: 3.如图,点A,B,C,P均在正方形网格的格点上.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+2μ=(　　) A.1 B. C. D.2 √ 针对训练 解析:设在正方形网格中,方向为水平向右,长度为一格的向量为i,方向为竖直向上,长度为一格的向量为j,∴=-2i+2j,=4i,=i+j. ∵=λ+μ(λ,μ∈R),即i+j=λ(-2i+2j)+μ×4i=(4μ-2λ)i+2λj, ∴解得∴λ+2μ=.故选B. 4.在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为　　　　.  解析:如图所示.∵A,M,Q三点共线,∴=x+(1-x)=+(1-x).又∵=+,=t,∴ 解得t=. 题型(三)　平面向量基本定理的应用 [例3]　如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM与BP∶PN的值. 解:设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2, =μ=2μe1+μe2.故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而=+=2e1+3e2, 由平面向量基本定理,得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=4,BP∶PN=. 若本例中的点N为AC的中点,其他条件不变,求AP∶PM与BP∶PN的值. 解:如图,设=e1,=e2, 则=+=-2e2-e1, =+=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-2λe2, 变式拓展 =μ=2μe1+μe2. 故=+=-=(λ+2μ)e1+(2λ+μ)e2.而=+=2e1+2e2,由平面向量基本定理,得解得 ∴=,=, ∴AP∶PM=2,BP∶PN=2. |思|维|建|模|　 用向量解决平面几何问题的一般步骤 (1)选取不共线的两个平面向量为基底; (2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解; (4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 5.如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b. (1)试用a,b表示,,; 针对训练 解:=+=+=+=a+b; =+=+=+=a+b; =+=-+=-+a+b=a-b. (2)若G为长方形ABCD内部一点,且=a+b,求证:E,G,F三点共线. 解:证明:由(1)知=a+b,=a+b, 设=λ+μ, 则a+b=λ+μ=a+b, 即解得 故=+,+=1, 故E,G,F三点共线. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.平面内任一向量m都可以表示成λa+μb(λ,μ∈R)的形式,下列关于向量a,b的说法正确的是(　　) A.向量a,b的方向相同 B.向量a,b中至少有一个是零向量 C.向量a,b的方向相反 D.当且仅当λ=μ=0时,λa+μb=0 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:因为任一向量m=λa+μb(λ,μ∈R),根据平面向量的基本定理得,向量a,b不共线,故A、C不正确.因为a,b是一个基底,所以不能为零向量,故B不正确.因为a,b不共线,且不能为零向量,所以若λa+μb=0,当且仅当λ=μ=0,故D正确.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以作为基底的是 (　　) A.a=0,b=e1-e2 B.a=3e1-3e2,b=e1-e2 C.a=e1-2e2,b=e1+2e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:对于A,零向量与任意向量均共线,所以这两个向量不可以作为基底.对于B,因为a=3e1-3e2,b=e1-e2,所以a=3b.所以这两个向量不可以作为基底.对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解,所以这两个向量不共线,可以作为一个基底.对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b.所以这两个向量不可以作为基底.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设{e1,e2}是平面内的一个基底,若向量a=-3e1-e2与b=e1-λe2共线,则λ= (　　) A. B.- C.-3 D.3 解析:因为a与b共线,所以存在μ∈R,使得a=μb,即-3e1-e2=μ(e1-λe2).故μ=-3,-λμ=-1,解得λ=-.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则等于(　　) A.-2 B.- C.- D. 解析:∵=+=+=-+=-,∴λ=1,μ=-.因此=-2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图所示,点C在线段BD上,且BC=3CD,则=(　　) A.3-2 B.4-3 C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为BC=3CD,所以=.因为=+=+ =+(-),所以=-.即=-.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y=　 .  解析:∵e1,e2不共线,∴ 解得∴x+y=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　,y=　　　.  解析:由题意,得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-. 　 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,若a=λe1+μe2,则λ+μ=　　　　.  4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,=3e2,=e1,所以a=+=e1+3e2.又a=λe1+μe2,所以λ=1,μ=3.即λ+μ=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)证明:{a,b}可以作为一个基底; 解:证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒∴λ不存在,故a与b不共线,{a,b}可以作为一个基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)以{a,b}为一个基底,求向量c=3e1-e2的分解式; 解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.∵e1与e2不共线,∴解得∴c=2a+b. (3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值. 解:由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2. ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图,在△ABC中,=2,E是AD的中点,设=a,=b. (1)试用a,b表示,; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:因为=2,所以=,所以=+=+ =+(-)=+=a+b.因为E是AD的中点, 所以===-+(-)=-+ =-a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,求·. 解:因为|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos <a,b>=1×1×=, 由(1)知,=a+b,= a+b,所以·=·=-a2-a·b+b2=--×+=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列等式成立的是(　　) A.||=||=|| B.++=0 C.=+ D.S△MBC= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,M为△ABC的重心,则++=0,A错误,B正确; =+=+=+(-)=+,C错误; 由DM=AD得S△MBC=S△ABC,D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点.若DC=3DF,设=a,=b,则=(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,F是线段DC上的点,且DC=3DF, ∴==(-)=(-),=-=+,则=+=+(-)=+=a+b,故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在△ABC中,已知点D在线段BC的延长线上,且3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若=-x+,则x的取值范围是　　.  解析:如图所示, (0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 设=t,则=+=+t=+t(-)=-t+(1+t). 因为3+=0,点O在线段CD上(与点C,D不重合),所以t∈(0,3), 又=-x+(1+x),所以x∈(0,3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)如图,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB. (1)试用向量a,b来表示,; 解:因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若AM交DN于点O,求AO∶OM的值. 解:因为A,O,M三点共线,所以∥,设=λ,则=-=λ-=λ-b=λa+b.因为D,O,N三点共线,所以∥,则存在实数μ使得=μ,所以λa+b=μ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由于向量a,b不共线,则解得 所以=,=,所以AO∶OM=3∶11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M.过点M的直线l与OA,OB分别交于点E,F. (1)试用,表示向量; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:由A,M,D三点共线可得,存在实数m,使得=m+(1-m).又=,故=m+.由C,M,B三点共线可得,存在实数n,使得=n+(1-n).又=,故=+(1-n). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由题意知,不共线,所以 解得故=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设=λ,=μ,求证:+是定值. 解:证明:由E,M,F三点共线,可设=k+(1-k)(k∈R), 由=λ,=μ, 得=kλ+(1-k)μ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由(1)知=+,所以 即所以+=7,故+是定值. $$