6.2.4 第1课时 平面向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

6.2.4 向量的数量积 第1课时　平面向量的数量积 (教学方式:深化学习课— 梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,会求投影向量. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量的夹角 (1)定义:已知两个_____向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则__________________叫做向量a与b的夹角(a,b的夹角也记作<a,b>). (2)特殊情况:当θ=0时,a与b______;当θ=π时,a与b_____;如果a与b的夹角为,我们说a与b垂直,记作a⊥b. 非零 ∠AOB=θ(0≤θ≤π) 同向 反向 2.平面向量数量积的定义 定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b,即a·b=____________ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 |微|点|助|解| (1)数量积运算中间是“·”,不能写成“×”,也不能省略不写. (2)向量的数量积是一个实数,不是向量,它的值可正、可负、可为0. (3)a·b=0不能推出a和b中至少有一个零向量. (4)|a|=是求向量的长度的工具. (5)区分0·a=0与0·a=0. (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件;a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件. 3.投影向量 (1)定义 如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)公式 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是__________.  4.数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=________.  (2)a⊥b⇔______. |a|cos θ e |a|cos θ a·b=0 (3)当a与b同向时,a·b=_____;当a与b反向时,a·b=______.特别地,a·a=___或|a|=______. (4)|a·b|≤______. |a||b| -|a||b| |a|2 |a||b| |微|点|助|解| 关于投影向量的注意点 (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. (2)如果向量a与向量b平行或垂直,向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. (3)由定义可知,投影是一个过程,而投影向量是一个结果. 基础落实训练 1.(多选)在锐角三角形ABC中,下列说法正确的是 (　　) A.与的夹角是钝角 B.与的夹角是锐角 C.与的夹角是钝角 D.与的夹角是锐角 √ √ 2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 解析:a·b=|a||b|cos 60°=. √ 3.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析:设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ===-,所以θ=. √ 4.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e上的投影向量是　　. 解析:a在e上的投影向量是|a|cose=4×e=-2e. -2e 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量的夹角 [例1]　已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少?a-b与a的夹角又是多少? 解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°, 以,为邻边作平行四边形OACB,则=a+b,=a-b. 因为|a|=|b|=2,所以平行四边形OACB是菱形. 又∠AOB=60°, 所以与的夹角为30°,与的夹角为60°. 即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°. 求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出. |思|维|建|模| 1.在△ABC中,AB=,BC=1,AC=2,D是AC的中点,求与的夹角. 解:如图,△ABC中,AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°. 而AB=,BC=1,AC=2,所以A=30°,C=60°.D是AC的中点, 则AD=DC=BD,∠ADB=120°,所以与的夹角为120°. 针对训练 题型(二)　向量的数量积 [例2]　已知正三角形ABC的边长为1,求: (1)·; 解:∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. (2)·; 解:∵与的夹角为120°, ∴·=||||cos 120°=1×1×=-. (3)·. 解:∵与的夹角为60°, ∴·=||||cos 60°=1×1×=. 向量数量积的求法 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. |思|维|建|模| 2.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+· +·的值等于(　　) A.-7 B.7 C.25 D.-25 解析:由题意知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3 ×cos(180°-A) =-20cos C-15cos A=-20×-15×=-16-9=-25. √ 针对训练 3.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=4,则·=　 ,·=　 , ·=　　.  解析:由题意,得||=4,||=4,||=4, 所以·=4×4×cos 90°=0,·=4×4×cos 135°=-16,·=4×4×cos 135°=-16. 0　 -16　 -16 题型(三)　投影向量 [例3]　在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·; 解:因为||=5,||=4,||=3, 所以+=,即AC⊥BC, 所以cos B==,所以·=||||·(-cos B)=5×4×=-16. (2)在上的投影向量; 解:由(1)知,AC⊥BC,所以cos A==, 所以在上的投影向量为||cos A·=3××=. (3)在上的投影向量. 解:由(1)知,cos B=,所以在上的投影向量为||(-cos B)·= 5××=-. 投影向量的求法 (1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定. (2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ. |思|维|建|模| 4.已知|b|=3,a在b上的投影向量为b,则a·b的值为(　　) A.3 B. C.2 D. 解析:设a与b的夹角为θ,∵|a|cos θ=b, ∴|a|cos θ=,即|a|·cos θ=,∴a·b=|a||b|cos θ=3×=. √ 针对训练 5.已知a·b=16,若a在b上的投影向量为4b,则|b|=　　.  解析:设a,b的夹角为θ, 则a·b=|a||b|·cos θ=16.① 由a在b上的投影向量为|a|cos θ=4b, 得|a|cos θ=4|b|.② 由①②得|b|=2. 2 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b等于(　　) A.-3 B.-6 C.6 D.2 解析:因为|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,所以a·b=|a||b|cos 135°=3×4×=-6.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a和b的夹角为120°,若|a|=3,a·b=-3,则|b|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:由题可得a·b=|a||b|cos 120°=3×|b|×=-|b|=-3,所以|b|=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图,一力作用在小车上,其中力F的大小为10 N,方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时,力F做的功为 (　　) A.100 J B.50 J C.50 J D.200 J 解析:由题意,根据向量的数量积的定义,可得力F做的功W= F ·s= 10×10cos 60°=50(J),故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若平面向量a,b平行,则向量a,b方向相同或相反,所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|;若a·b=|a||b|,则cos<a,b>=1,即向量a,b方向相同,以及向量a,b平行.综上,“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的必要不充分条件.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,向量a在向量b上的投影向量是b,则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由向量a在向量b上的投影向量为b,所以·= ·=b.又因为|a|=2|b|,所以cos<a,b>=,故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知在▱ABCD中,∠DAB=60°,则与的夹角为　　　　.  解析:如图,与的夹角为∠ABC=120°. 120° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知|a|=6,向量e为单位向量,<a,e>=,则向量a在向量e上的投影向量为　　.  解析:因为|a|=6,向量e为单位向量,<a,e>=,所以向量a在向量e上的投影向量为·=(a·e)e=|a||e|cos·e=6×·e=3e. 3e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|=　　　　.  解析:∵cos θ===-,∴sin θ=. ∴|a×b|=2×5×=8. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)已知|a|=5,|b|=4, (1)若a与b的夹角为θ=120°. ①求a·b;②求a在b上的投影向量; 解:(1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. ②a在b上的投影向量为|a|·cos θ=5××=-b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a∥b,求a·b. 解:∵a∥b,∴a与b的夹角为θ=0°或θ=180°. 当θ=0°时,a·b=|a||b|cos 0°=20. 当θ=180°时,a·b=|a||b|cos 180°=-20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(15分)已知在△ABC中,AB=AC=4,·=8. (1)判断△ABC的形状; 解:·=||||cos∠BAC,即8=4×4cos∠BAC,于是cos∠BAC=,又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.又AB=AC,故△ABC是等边三角形. (2)求·. 解:由(1)得与的夹角为120°,所以·=||||cos 120°=4×4 ×=-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD是(　　) A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析:由·=0,知AB⊥BC.由=,知BC AD,所以四边形ABCD是矩形. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知平面向量a满足a·e=3,其中e是单位向量,则|a|的取值范围为 (　　) A.(0,3) B.(0,3] C.[3,+∞) D.(3,+∞) 解析:∵a·e=|a||e|cos<a,e>=3>0,∴cos<a,e>∈(0,1]. ∴|a|==≥3.故|a|的取值范围为[3,+∞).故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.如图,在平面图形ACBD中,=2,||=6.若·=27,·=24,则||= (　　) A. B.3 C.9 D.13 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意易知△ADE∽△CBE,则=,=. 过E作EF⊥AD于F, 则·=3·=27,即·=9=||||, ·=2·3=24,即·=4=||||,所以=.不妨设||=4x,则||=9x,则||=13x,所以9x·13x=9,解得x2=.所以||==3,故||=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(17分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由已知可得=, 四边形OAMB是菱形,则=+, 所以=-=-(+)=--. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求·的取值范围. 解:易知∠DMC=60°,且||=||, 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=, 则·=××cos 60°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1, 则·=cos 60°=. 所以·的取值范围为. $$