6.2.3 第1课时 向量的数乘运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

6.2.3 向量的数乘运算 向量的数乘运算 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义. 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的数乘的概念 逐点清(二)　向量的线性运算 逐点清(三)　向量共线定理 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的数乘的概念 01 多维理解 定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa 长度 |λa|=|λ||a| 方 向 λ>0 λa的方向与a的方向_____ λ=0 λa=____　  λ<0 λa的方向与a的方向______ 向量 相同 0 相反 1.要得到向量-2a,可将 (　　) A.向量a向左平移2个单位长度 B.向量a向右平移2个单位长度 C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍 D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍 微点练明 √ 解析:根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D. 2.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是 (　　) A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍 B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的倍 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量　 √ √ √ 解析:2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a) +(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的倍,故B正确.∵-2a +2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误. 3.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是 (　　) A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反 B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同 C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同 D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同 √ √ √ 解析:由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向, ∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选A、B、C. 4.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是 (　　) A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同 C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a √ 解析:当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,故A不正确;显然λ2>0,故B正确;|-λa|=|λ||a|,由于|λ|与1的大小关系不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定,故C不正确;|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小,故D不正确. 逐点清(二)　向量的线性运算 02 多维理解 1.数乘运算的运算律 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μ a)=______; (2)(λ+μ)a=________;  (3)λ(a+b)=_______. 特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb. (λμ)a λa+μ a λa+λb 2.向量的线性运算 向量的______________运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=_____________. 加、减、数乘 λμ1a±λμ2b 1.化简的结果是(　　) A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 解析:原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=2b-a. √ 微点练明 2.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是 (　　) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 解析:m(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误. √ √ 3.若a,b为已知向量,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c=　　 　.  解析:∵(4a-3c)+3(5c-4b)=a-2c+15c-12b=0, 化简得13c=12b-a,∴c=b-a. b-a 4.化简下列各式: (1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); 解:原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; 解:原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=-2a+4b. (3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R). 解:原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b. 逐点清(三)　向量共线定理 03 多维理解 1.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_______. b=λa |微|点|助|解| 向量共线定理中规定a≠0的原因 (1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线; (2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa,但此时向量a与b共线; (3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾. 2.向量共线定理的推论 在平面中A,B,C三点共线的充要条件是:=x+y(O为平面内直线AB外任意一点),其中x+y=1. 1.(多选)向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 (　　) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.|a|=3|b| D.b=-3a 解析:因为a=2e,b=-6e,所以b=-3a,故D正确;由向量共线定理知,A正确;-3<0,a与b方向相反,故B正确;由上可知|b|=3|a|,故C错误. √ 微点练明 √ √ 2.已知e1和e2不共线,a=λe1+e2,b=4e1+2e2,并且a,b共线,则λ的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由题意,有a=μb, 即解得 √ 3.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则下列结论正确的是(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析:∵向量=+=2a+4b, =a+2b, ∴=2,即点A,B,D三点共线. √ 4.对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:对于非零向量a,b,当a+b=0时,a=-b,a∥b一定成立,即充分性成立;当a∥b时,a=λb,不一定满足a+b=0,即必要性不成立. 所以对于非零向量a,b, “a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 11 12 2 1.已知a=4d,b=5d,c=-3d,则2a-3b+c等于 (　　) A.10d B.-10d C.20d D.-20d 解析:2a-3b+c=2×(4d)-3×(5d)-3d=8d-15d-3d=-10d. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 2 3 4 2.(多选)下列运算正确的是 (　　) A.(-3)×2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 解析:根据向量数乘运算和加、减运算法则知A、B、D正确;C中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是实数0,所以该运算错误. √ √ √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 3.点C在直线AB上,且=3,则等于(　　) A.-2 B. C.- D.2 解析:如图,=3,所以=2. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 4.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0,a≠0) B.若a∥b,则b=λa(λ∈R) C.若|b|=2|a|,则b=±2a D.若b=±2a,则|b|=2|a| √ √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 解析:当λ>0时,a与λa方向相同,当λ<0时,a与λa方向相反,故A正确; 当a≠0时,结论才成立,故B错误; 当|b|=2|a|时,b与2a不一定共线,故C错误; 显然当b=±2a时,|b|=2|a|,故D正确. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 5.在平行四边形ABCD中,-=(　　) A. B. C. D. 解析:如图,连接AC,BD相交于点O,则-=-==,故选C. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 6.(多选)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是 (　　) A.a=-3e,b=2e B.a=-e,b=e C.a=e1-e2,b=-e1 D.a=e1-e2,b=e1+e2+ √ √ √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 解析:A中,a=-b,所以a∥b;B中,a=-b,所以a∥b;C中,b=-e1==-a,所以a∥b;D中,b==(e1+e2),若e1与e2共线,则a与b共线,若e1与e2不共线,则a与b不共线. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 7.若D为△ABC的边AB的中点,则=(　　) A.2- B.2- C.2+ D.2+ 解析如图所示, ∵D为△ABC的边AB的中点, ∴+=2, ∴=2-.故选A. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 8.(多选)已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,一定可以使a,b共线的是 (　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b √ √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 解析:由2a-3b=-2(a+2b)得到b=-4a,故A可以;λa-μb=0⇒λa=μb,故B可以;当x=y=0时,有xa+yb=0,但b与a不一定共线,故C不可以;梯形ABCD中,没有说明哪组对边平行,故D不可以. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 9.化简(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=　　　　.  解析:原式=a-b-a-b+a+b=a+b=0. 0 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则=　　　 . 解析:∵==,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∴=.又与同向, ∴=. 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 11.(15分)(1)计算: ①4(a+b)-3(a-b)-8a; ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); ③. 解:(1)①4(a+b)-3(a-b)-8a=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b. ②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 ③== =a-b. (2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a. 解:-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+=-i-5j. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 3 4 2 12.(15分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2不共线.问是否存在实数λ,μ,使得向量d=λa+μb与c共线? 解:由题意得d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2. 若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2, 所以解得λ=-2μ. 故存在实数λ,μ,使得向量d与c共线,且λ=-2μ. 10 $$