6.2.2 向量的减法运算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）  

6.2.2 向量的减法运算 （教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,理解相反向量和向量减法的概念. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.相反向量 定义 与向量a长度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,记作-a 性质 -(-a)=____ 零向量的相反向量仍是零向量 a+(-a)=(-a)+a=___ 如果a,b互为相反向量,那么a=____,b=____,a+b=0 相等 相反 a 0 -b -a |微|点|助|解| 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量. (2)避免一个误区:即将相反向量等同于方向相反的向量,而是方向相反且模相等的向量. 2.向量的减法运算及其几何意义 定义 求两个________的运算叫做向量的减法,a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的__________ 作法 在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量 a-b=_____,如图所示 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的______指向向量a的_____的向量 向量差 相反向量 终点 终点 (1)对于向量减法的三点说明 ①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法. ②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. ③向量减法满足三角形法则,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. |微|点|助|解| (2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则=a+b,=a-b. ②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个相等向量之差等于0. (　　) (2)两个相反向量之差等于0. (　　) (3)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. (　　) √ × √ √ 2.若非零向量m与n是相反向量,则下列结论不正确的是 (　　) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 √ 3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 (　　) A.-=0 B.-= C.-= D.+=0 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量减法及其几何意义 [例1]　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解:法一:如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b, 则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 变式拓展 若本例条件不变,求作向量a-b-c. 解:如图,在平面内任取一点O, 作=a,=b, 则=a-b. 再作=c, 则=a-b-c. |思|维|建|模| 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可. 1.如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作向量b+c-a. 针对训练 解:法一:如图,以,为邻边作▱OBDC,连接OD,AD, 则=+=b+c, =-=b+c-a. 法二:如图,作==b, 连接AD, 则=-=c-a, =+=c-a+b=b+c-a. 题型(二)　向量的减法运算 [例2]　化简:(1)+--; 解:+--=(-)+(-)=+=. (2)(-)-(-). 解:法一:(统一成加法) (-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0. 法二:(利用减法) (-)-(-)=--+=(-)-+=-+=+=0. |思|维|建|模| 向量减法运算的常用方法 (1)可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法运算. (2)运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量要有共同的起点. (3)引入点O,逆用向量减法的三角形法则,将各向量起点统一. 2.化简:(1)--++; 解:--++=++++=+=. (2)(++)-(--). 解: (++)-(--)=++-++= (+)+(-)+(+)=++0=0. 针对训练 3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b, =c,试用a,b,c表示. 解:法一:=+=a+=a+(-)=a+c-b. 法二:=+++=++(+)=++0=+ (+)=a+(-b+c)=a-b+c. 题型(三)　向量加减法的应用 [例3]　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA,OB为 邻边作平行四边形OACB,则=a+b.由于(+1)2+ (-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以▱OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4. (1)解决向量加减法的应用问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用:①对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);②若|a+b|= |a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形. |思|维|建|模| 4.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|,则||=(　　) A.8　　　　　　　　　 B.4 C.2 D.1 √ 针对训练 解析:以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-.因为|+|=|-|,所以||=||.又四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB.则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此||=||=2. 5.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求的值. 解:设=a,=b, 则=-=a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|, ∴BA=OA=OB. ∴△OAB为正三角形. 设其边长为1,则|a-b|=||=1, |a+b|=2×=.∴==. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.化简+---=(　　) A. B. C.0 D. 解析:+---=-+--=+-=-=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是方向相反的向量,则|a-b|的取值范围是 (　　) A.(2,6) B.[2,6) C.(2,6] D.[2,6] 解析:由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下面四个式子能化简成的是(　　) A.-- B.-+ C.(-)+ D.(-)+(-) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,--=,点M和A的位置不详,故A不一定正确;对于B,-+=+=,正确; 对于C,(-)+=++=,正确; 对于D,(-)+(-)=+++=+0=,正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是(　　) A.菱形　　　　　　　 B.矩形 C.正方形 D.不确定 解析:因为=,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|-|=|-|,即||=||,所以平行四边形ABCD是矩形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则(　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 解析:-=,-=,而在平行四边形ABCD中,=,所以-=-.又=a,=b,=c,=d,所以b-a=c-d,即a-b+c-d=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=　　　　,|a-b|=　　　　.  解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0.又a=-b,所以|a|=|-b|=1,因为a与-b同向,所以|a-b|=2. 0　 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--+ +=　　　　.  解析:由题图知--++=-+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+ =　　.  解析:-+=++=+.因为+=0,所以- +=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)如图,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示,,-,+,-,++. 解:=-=c-a,=-=d-a,-==-=d-b,+= -+-=b-a+f-c,-==-=f-d,++=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. 解:法一:先作a-b,再作a-b-c即可. 如图①所示,以A为起点分别作向量和,使=a,=b.连接CB, 得向量=a-b,再以C为起点作向量,使=c,连接DB,得向量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则向量即为所求作的向量a-b-c. 法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 先作=-b和=-c; 再作=a,连接OC,得向量,则=a-b-c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.设a表示“向东走6 km”,b表示“向南走3 km”,则b-a+b所表示的意义为(　　) A.向东南走6 km B.向东南走3 km C.向西南走6 km D.向西南走3 km √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图,分别作出=a,=2b, 则利用向量加法的交换律可得b-a+b=2b-a, 故=2b-a. 易知△OAB为等腰直角三角形,故∠OAB=45°, 且||=6, 所以b-a+b所表示的意义为向西南走6 km. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.在平面上有A,B,C三点,设m=+,n=-,若m与n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:以,为邻边作平行四边形,则m=+,n=-=,由m,n的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 (　　) A.|+|=|-| B.|-|=|-| C.|-|=|-| D.|-|2>|-|2+|-|2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由条件可知||=||,且⊥,以,为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|,故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;=,=,=,由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,=a,=b. 求证:(1)|a-b|=|a|; 证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB. 又M是斜边AB的中点,所以CM=AM=BM. 因为a-b=-=,且||=||,所以|a-b|=|a|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)|a+(a-b)|=|b|. 证明:因为M是斜边AB的中点,所以=, 所以a+(a-b)=+(-)=+=+=. 因为||=||,所以|a+(a-b)|=|b|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边 AB和BC的中点,G为AC与BD的交点. (1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形?请说明理由. 解:由条件知||=|++|=||, 即AB=AD.又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量. 解:由平行四边形及三角形中位线的性质可知=. 所以--=--=-(+)=-=.作出向量,如图所示. $$