3.1.2 第2课时 分段函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

分段函数 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1．了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画分段函数的图象． 2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题． 分段 函数 的概 念和 特点 在函数的定义域内，在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　分段函数求值问题 题型(二)　分段函数的图象及应用 题型(三)　分段函数的实际应用问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　分段函数求值问题 (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围． [变式拓展] 1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 2．本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x， 则x∈∅.综上可得，x的取值范围是(－∞，2)． |思|维|建|模| 1．分段函数求值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．求自变量的值的方法 已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 3．求参数值的方法 若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． √ 针对训练 解析：由题易知f(1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论： 当a>0时，f(a)＝2a， 由f(a)＋f(1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，舍去； 当a≤0时，f(a)＝a＋1， 由f(a)＋f(1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意． 8 题型(二)　分段函数的图象及应用 (2)画出f(x)的图象； 解：函数f(x)的图象如图所示． (3)写出函数f(x)的值域． 解：由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． [变式拓展] 把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，如何求解． |思|维|建|模| 分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象．在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 针对训练 解：函数y＝x2的对称轴为x＝0， 当x＝0时，y＝0； 当x＝－1时，y＝1；当x＝1时，y＝1， 故f(x)的图象如图所示． [例3]　某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 题型(三)　分段函数的实际应用问题 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额. 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40. ∵60>40，∴x>900.∴0.2(x－900)＋40＝60. 解得x＝1 000.∴1 000－60＝940. 故此人购物实际所付金额为940元． |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　 ) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 √ 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 16 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 解析：∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数．∴D(D(x))＝1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则(　 ) A．f(f(－3))＝1 B．f(－1)＝3.5 C．函数的定义域是(－∞，0]∪[2,3] D．函数的值域是[1,5] 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由图象可得f(－3)＝2，所以f(f(－3))＝f(2)＝1，A正确；图象法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(－1)的确定值，B错误；由图象可得函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，C错误；由题图可得函数的值域为[1,5]，D正确． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 －3 解析：f(3)＝－2×3＋3＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 [－1,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 －4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解：因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)画出函数f(x)的图象． 解：f(x)的图象如图所示． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(8分)如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 A　　 　　 B　　　 　 　C　　　　　 D 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为_______元． 16 11.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析法表示φ(x)； 解：在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①所示． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数φ(x)的定义域、值域． 解：由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， 所以φ(x)的值域为(－∞，1]． 16 [例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(1)，f； 解：(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]， 知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，f＝f＝f＝3×＋5＝. 解：因为a2＋2≥2，所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－，即实数a的取值范围是∪[1，＋∞)． 解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，实数a的值为－或2. 1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　 ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 2．函数f(x)＝则f(7)＝______. 解析：∵函数f(x)＝ ∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8. [例2]　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； 解：当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1. 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. ∴f(x)＝ 解：(1)f(x)＝|x|－2＝ (2)函数的图象如图所示． (3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)若f(x)＝，求x的值； 解：f(x)＝等价于①或②或③ 解①得x＝±，②③的解集都为∅. 所以当f(x)＝时，x＝±. (3)若f(x)≥，求x的取值范围． 解：由于f＝，结合此函数图象可知， f(x)≥的x的取值范围是∪. 解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元， 则y＝ 解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. A级——达标评价 1．函数f(x)＝的图象是(　 ) 解析：函数f(x)＝＝故选C. 2．已知著名的狄利克雷函数D(x)＝则D(D(x))等于(　 ) A．0 B．1 C. D. 3．函数f(x)＝的值域是(　 ) A．R B．[0,2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0,3] 4．已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则实数a的值为(　 ) A．－1 B．±1 C．0 D．1 解析：当a≥0时，f(a)＝a3＝1，则a＝1， 当a<0时，f(a)＝＝1，解得a＝－1. 综上a＝±1. 6．已知函数f(x)＝则f(3)＝_______. 7．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为________． 解析：原不等式转化为或 解得－1≤x≤1. 8．已知函数f(x)＝若f＝－6，则f(4)＝________. 解析：由题意，得f＝3.所以f＝f(3)＝9＋3a＝－6，解得a＝－5.故f(4)＝42－5×4＝－4. 9．(8分)已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； 解：当点P在BC上运动，即0≤x≤4时， y＝×4×x＝2x； 当点P在CD上运动，即4<x≤8时， y＝×4×4＝8； 当点P在DA上运动，即8<x≤12时， y＝×4×(12－x)＝24－2x. 综上可知，f(x)＝ B级——重点培优 11．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　 ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．若f(x)＝3，则x的值是 D．f(x)<1的解集为(－1,1) 解析：由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误． 12．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝(x2－3x)⊕4的部分图象大致是(　 ) 解析：f(x)＝(x2－3x)⊕4＝其图象如图所示，故选B. 13．已知f(x)＝若对任意x∈R，均有xf(x)≤g(x)，则函数g(x)可以是(　 ) A．g(x)＝ B．g(x)＝x C．g(x)＝x2 D．g(x)＝|x| 解析：g(x)＝，当x∈Q时，不妨取x＝2，则f(2)＝1，此时2≤不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，A错误；g(x)＝x，当x∈∁RQ时，不妨取x＝－，则f(－)＝0，则0≤－不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，B错误； g(x)＝x2，不妨取x＝，则f＝1，此时≤不成立，即xf(x)≤g(x)不成立，C错误；g(x)＝|x|，当x∈Q时，则f(x)＝1，此时x≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，当x∈∁RQ时，则f(x)＝0，此时0≤|x|恒成立，即xf(x)≤g(x)成立，故对任意x∈R，均有xf(x)≤g(x)，D正确．故选D. 14．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝ 已知某家庭2024年前三个月的煤气费如下表： 解析：根据1月份用气量4 m3，煤气费4元，可知f(4)＝C＝4.又由2、3月份用气量和煤气费得 解得A＝5，B＝.所以f(x)＝ 所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5. 15．(10分)设集合A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围． 解：因为x0∈A，所以0≤x0<，且f(x0)＝x0＋， 又≤x0＋<1，所以x0＋∈B， 所以f(f(x0))＝2＝2. 又f(f(x0))∈A，所以0≤2<， 解得＜x0≤，又0≤x0＜，所以<x0<. 故x0的取值范围为. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②所示． 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 φ(x)＝ $$