3.1.2 第1课时 函数的表示法（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

3.1.2 函数的表示法 函数的表示法 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的三种表示法 逐点清(二)　函数的图象 逐点清(三)　函数的解析式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数的三种表示法 01 三种常用的函数表示方法 多维理解 |微|点|助|解| 对三种表示法的说明 解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域 列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性 图象法 图象既可以是光滑的曲线，也可以是直线、折线、离散的点 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示． (　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示． (　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)＝1. (　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰． (　 ) 微点练明 × √ × √ √ x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 3．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝______.   解析：∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3. 3 4．中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)吗？ 解：因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}． 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 逐点清(二)　函数的图象 02 作函数y＝f(x)图象的方法 (1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． (2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按： ①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象． 多维理解 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．   解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2，2]． 微点练明 [－3,3] [－2,2] 2．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： (1)y＝3x； 解：一次函数y＝3x的图象如图1所示，定义域为R，值域为R. (2)y＝－4x＋5； 解：一次函数y＝－4x＋5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R. (3)y＝x2－6x＋7. 解：二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)． 逐点清(三)　函数的解析式 03 (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)； (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式 续表 根据下列条件，求f(x)的解析式． (1)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋4x＋1； 解：令t＝x＋1，则x＝t－1. 故f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2. 所以f(x)＝x2＋2x－2. 针对训练 (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9； 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 √ 1.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是(　 ) A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0) 解析：由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 √ 2.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为(　 ) A．3 B．0 C．1 D．2 x 1 2 3 f(x) 2 3 0 解析：由题图可知g(2)＝1，由题表可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 3．已知函数f(x)是一次函数，且f(x－1)＝4x＋3，则f(x)的解析式为(　 ) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝4x＋7 C．f(x)＝4x＋1 D．f(x)＝4x＋3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知函数y＝f(x)的图象如图所示．   则(1)f(－2)＝_____；(2)若f(x)＝0，则x＝______. 3 －3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：(1)由题图，知f(x)过点(－2，3)，故可得f(－2)＝3. (2)由题图可知，f(x)过点(－3,0)， 故可得x＝－3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为_______kg. 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10．下表表示函数y＝f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是_________. {1,2,3,5} x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20 y＝f(x) 4 6 8 10 解析：当0<x<5时，f(x)>x的整数解为{1,2,3}；当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为∅.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为∅.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，当x>4时，f(x)>0；当0<x<4时，－4≤f(x)<0，所以为使函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4,0]，实数m的取值范围是[2,4]． 11．已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是_______． [2,4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12．(10分)已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：   (1)函数p＝f(m)的定义域； 解：观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是[－3,0]或[1,4]，由题图知定义域为[－3,0]∪[1,4]． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)函数p＝f(m)的值域； 解：由题图知值域为[－2,2]． (3)p取何值时，有唯一的m值与之对应． 解：由题图知，当p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13．(12分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21. 所以a＝2，b＝5.所以f(x)＝2x＋5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式． 解：由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1. 因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x， 整理得－2ax＋a－b＝4x， 即a＝－2，b＝－2.所以f(x)＝－2x2－2x＋1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)y＝|x2－1|. 解：先作出函数y＝x2－1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y＝|x2－1|的图象，如图②所示． 2．已知函数y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　 ) A．y＝　 B．y＝－　 C．y＝　 D．y＝－ 解析：设y＝，由题意知1＝，即k＝2.∴y＝. (4)y＝－，x∈[－3,0)∪(0,1]． 解：作出函数y＝－，x∈[－3,0)∪(0,1]的图象， 如图4所示， 由图象可知值域为(－∞，－4]∪. [典例]　求下列函数的解析式： (1)(换元法或配凑法)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)； 解：法一：换元法　令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2.代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二：配凑法　由已知得f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3. 因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 因为f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 解：由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中， 以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x. 联立解得f(x)＝x－1. 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程 组法 已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 所以3k(x＋1)＋3b－kx－b＝2x＋9. 即2kx＋3k＋2b＝2x＋9. 所以解得所以f(x)＝x＋3. (3)已知f(x)满足2f＋f(x)＝x(x≠0)． 解：因为2f＋f(x)＝x(x≠0)　①， 所以2f(x)＋f＝　②. 2×②－①，得3f(x)＝－x， 所以f(x)＝－(x≠0)． 解析：设一次函数的解析式为f(x)＝ax＋b(a≠0)，由f(x－1)＝4x＋3，可得f(x－1)＝a(x－1)＋b＝ax－a＋b＝4x＋3.所以解得所以函数的解析式为f(x)＝4x＋7. 4．已知f(－1)＝－x，则函数f(x)的表达式为(　 ) A．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥0) B．f(x)＝x2＋2x＋1(x≥－1) C．f(x)＝－x2－2x－1(x≥0) D．f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1) 解析：令t＝－1(t≥－1)，则x＝(t＋1)2.所以f(t)＝－(t＋1)2＝－t2－2t－1(t≥－1)．所以f(x)＝－x2－2x－1(x≥－1)．故选D. 6．(多选)若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　 ) A．f＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f＝－1(x≠0且x≠1) 解析：令1－2x＝t(t≠1)，则x＝.所以f(t)＝＝－1.则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误；f＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确． 7．函数y＝的大致图象是(　 ) 解析：法一　y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B. 法二　y＝＝1－，由函数的平移性质可知A正确． 解析：设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)，得解得即y＝30x－570，若要免费，则y≤0，所以x≤19. 14．(13分)画出下列函数的大致图象： (1)y＝； 解：因为y＝＝2－，所以可先作出函数y＝－的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y＝的图象，如图①所示． $$