2.3 第3课时 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

一元二次不等式的应用 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) 第3课时 课时目标 1．掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法)． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 3．会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　简单分式不等式的解法 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　简单分式不等式的解法 |思|维|建|模| 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 针对训练 [例2]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围． 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 [变式拓展] 1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 2．在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈ {x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围． 2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是______________． 针对训练 {k|－3<k≤1} 3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． [例3]　某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 解：由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ |思|维|建|模| 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式． 4．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任． 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　 ) A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　 ) A．{a|－1≤a≤4} 　 B．{a|－1<a<4} C．{a|a≥4或a≤－1} 　 D．{a|－4≤a≤1} 解析：由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是______________ ． 解析：由题意Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6． {a|－2≤a≤6} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为___________________． 解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500， 解得10≤t≤15，t∈N， 所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}． {t|10≤t≤15，t∈N} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4 解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}， 故(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时． [注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．(多选)若“∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则a的值可能为(　 ) A．－1 B．0 C．2 D．4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足(　 ) A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_____． 解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20． 20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围． 解：因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立， 所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立， 即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4． 故实数λ的取值范围是{λ|－8≤λ≤4}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(12分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}． (1)求实数k的值； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围． 解：由(1)知，k＝2，原不等式可化为x2－4x＋9－m2＋4m≥0， 所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立， 令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4， 所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4， 即m2－4m－5≤0，解得－1≤m≤5， 故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤5}． [例1]　解下列不等式： (1)<0； 解： <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)≤1． 解：∵≤1，∴－1≤0，∴≤0， 即≥0．此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0， 解得x<或x≥4，∴原不等式的解集为． 1．解下列不等式： (1)≥0； 解：不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3． 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)<3． 解：不等式<3可改写为－3<0，即<0． 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1． 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 解：若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则解得－4<m<0． 综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}． 解：不存在．理由如下： 显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时， 由题意可得解得m∈∅， 所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0． 解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6，所以≥，所以m<． 故实数m的取值范围为． |思|维|建|模| (1)当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 解析：当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时， 由题意得解得－3<k<1， 因此实数k的取值范围是{k|－3<k≤1}． 解：令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2．如图， 可得解得m<－5， ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}． 解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解得0＜x＜， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足． 解：由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12， 解得x甲<－40或x甲>30． 由s乙＝0.05x乙＋0.005x>10， 解得x乙<－50或x乙>40． 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h． 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． A级——达标评价 1．(多选)与不等式≥0同解的不等式是(　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C．≤0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：不等式≥0可化为≤0，∴ 解得2<x≤3，∴0<x－2≤1．故选BC． 2．不等式<0的解集为(　 ) A．{x|－1<x<2或2<x<3} B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x<2} 解析：原不等式⇔所以－1<x<3且x≠2． 解析：当a＝0时，满足条件；当a≠0时， 由得0<a≤4，所以0≤a≤4． 4．已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　 ) A．{a|a<－1} B．{a|－1<a<3} C．{a|a>－3} D．{a|－3<a<1} 解析：原命题是假命题，则其否定是真命题，即∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，故判别式(a－1)2－4<0，解得－1<a<3．故选B． 8．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝______． 解：当1≤x≤3时，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x＋1＝2＋＞0，∴m＜． ∵当1≤x≤3时，＝， x＝3时，其最小值为，∴只需m＜即可． 故m的取值范围是． 解：设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)． 解：依题意有(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，且0.55≤x≤0.75， 整理得解得0.6≤x≤0.75． 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 解析：“∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题， 则“∀x∈R，ax2＋ax＋1>0”为真命题， 当a＝0时，1>0，符合题意， 当a≠0时，解得0<a<4， ∴0≤a<4，故a的值可能为0,2． 解析：设提价后杂志的定价为x元，则提价后的销售量为10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为x≥42，即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7，故选A． 解：由题意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的两个根， 所以由根与系数的关系得解得k＝2． $$