2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

二次函数与一元二次方程、不等式 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 (一)一元二次不等式的概念 1．一元二次不等式的定义及一般形式 定义 只含有一个________，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 未知数 2 2．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_____________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． ax2＋bx＋c＝0 (二)一元二次函数与方程、不等式的解的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 续表 {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ |微|点|助|解| (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集． (3)从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 ①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． ②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式． (　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0． (　 ) (3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点． (　 ) 基础落实训练 × √ × (4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2． (　 ) (5)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R． (　 ) √ × √ 3．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a，c的值分别为______，______． －1 －6 课堂题点研究·迁移应用融通 [例1]　解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0． 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图1所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R． 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 (2)－x2＋6x－9≥0； 解：原不等式可化为x2－6x＋9≤0， 即(x－3)2≤0， 函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}． (3)x2－2x－3>0． 解：方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3． 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图3所示． 观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． 　 图1　　　　 图2　　　　　 图3 |思|维|建|模| 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)计算对应方程的判别式，判断方程根的情况． (3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． √ 针对训练 2． 解不等式：－2<x2－3x≤10． [例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax． 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 |思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项 系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根 的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 3．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0． 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小． ①当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1)． ②当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4． 针对训练 ③当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x<a＋1． 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}， 当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}， 当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． [例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 题型(三)　三个“二次”之间的关系 [变式拓展] 1．若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． |思|维|建|模| 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． √ 针对训练 √ 5．若关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为______． 2 解析：∵关于x的不等式(x＋1)(x－3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x＝0是方程(x＋1)(x－3)＝m的解，∴m＝－3．∴原不等式为(x＋1)(x－3)<－3，即x2－2x<0，解得0<x<2．故不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n＝2． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　 ) A．{x|－2<x<1} B．{x|x<－2或x>1} C．{x|－2≤x≤1} D．{x|x≤－2或x≥1} 解析：由二次函数图象知ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　 ) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．不等式4＋3x－x2<0的解集为(　 ) A．{x|－1<x<4} B．{x|x>4或x<－1} C．{x|x>1或x<－4} D．{x|－4<x<1} 解析：不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}.故选B． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　 ) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．不等式x2－4x＋4>0的解集是_________． 解析：原不等式可化为(x－2)2>0，所以x≠2． {x|x≠2} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．关于x的不等式ax－b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是____________． {x|－1<x<3} 解析：因为关于x的不等式ax－b<0的解集是{x|x>1}，所以不等式ax<b的解集是{x|x>1}，所以a＝b<0，所以不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以该不等式的解集是{x|－1<x<3}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)解下列不等式： (1)2＋3x－2x2＞0； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)x2－2x＋3＞0． 解：因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0， 所以原不等式的解集是R． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(10分)解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解：原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0． 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a． ①当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为∅； ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}； 当a＝0时，不等式的解集为∅；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 解析：因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 13．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　 ) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 {m|m<0} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是___________________________． 解析：因为不等式(x＋4)(x－6)＞0的解集为{x|x＞6或x＜－4}，解集中只有－5在集合A中，所以符合题意． (x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________________ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____________ ____ ____ 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　 ) A． B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|x＞1} D． 解析：原不等式可化为(2x＋1)(x－1)＞0，所以x＜－或x＞1，故选A． 解析：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝2，x2＝3， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2＋3＝－，x1x2＝2×3＝， 解得a＝－1，c＝－6． 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　 ) A．{x|x<－1} 　　 B． C． 　　 D． 解析：不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是，故选D． 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2－3x＋2>0，即(x－1)(x－2)>0， 解得x>2或x<1．不等式②可化为x2－3x－10≤0， 即(x－5)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤5． 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1或2<x≤5}． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0． ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1． ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1． ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为． 解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知＝－5，＝6． 由a<0知c<0，＝－， 故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0， 即x2－x＋>0，解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为． 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0． ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0， 即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0，解得－<x<－， 故不等式cx2－bx＋a＞0的解集为． 2．若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为_____________． 解析：法一　由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0． 又×2＝<0，则c>0． 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－＝，∴＝－． 又＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0． 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 故不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为． 法二　由已知得a<0且＋2＝－，×2＝，∴c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， 其中＝＝－，－＝＝＝－， ∴x1＝－3，x2＝．∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为． 4．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x>－12} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 解析：因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a>0，A正确；方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－3，x2＝4，由根与系数的关系得即b＝－a，c＝－12a，bx＋c>0等价于－ax－12a>0，所以x<－12，B错误；不等式cx2－bx＋a<0等价于－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得x<－或x>，C正确；因为b＝－a，c＝－12a，所以a＋b＋c＝－12a<0，D错误． 5．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是，则a的值为 (　 ) A．－ B．2 C．－2 D． 解析：因为不等式ax2＋5x－2>0的解集为，所以，2为方程ax2＋5x－2＝0的两根，所以根据根与系数的关系可得×2＝－，所以a＝－2． 7．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是____________． 解析：原不等式等价于(x－a)<0，由0<a<1，得a<， 所以a<x<． 解：原不等式可化为2x2－3x－2＜0， 所以(2x＋1)(x－2)＜0，解得－＜x＜2， 故原不等式的解集是． 解：原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－或x≥1， 故原不等式的解集为． B级——重点培优 11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　 ) A． B．R C． D．∅ 12．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a＝(　 ) A． B． C． D． 解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝，故选A． 14．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________． 解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}． 16．(12分)已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为． (1)求a，c的值； 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1． 解：由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0的解集为． $$