2.3 第1课时 初中知识衔接：一元二次函数与方程（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

2.3 二次函数与一元二次方程、 不等式 初中知识衔接：一元二次函数与方程 第1课时 CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　解一元二次方程 逐点清(二)　一元二次方程根与 系数的关系 逐点清(三)　一元二次函数与图象 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　解一元二次方程 01 一元二次方程的解法 多维理解 配方法 解法步骤：(1)化二次项系数为1； (2)移项：把常数项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方的形式； (4)解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根 续表 √ 1．若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)(x＋8)，则实数k的值为(　 ) A．5 B．－5 C．11 D．－11 解析：由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24． 微点练明 √ √ 3．下列有两个不相等的实数根的方程是(　 ) A．x2＋1＝0　　　　　　 B．x2－2x＋1＝0 C．x2＋2x＋4＝0 D．x2－x－3＝0 4．按指定的方法解方程： (1)(x＋9)2－25＝0(直接开平方法)； 解：方程变形得(x＋9)2＝25，开方得x＋9＝5或x＋9＝－5，解得x1＝－4，x2＝－14． (2)x2－6x－16＝0(配方法)； 解：方程变形得x2－6x＝16，配方得x2－6x＋9＝25， 即(x－3)2＝25， 开方得x－3＝5或x－3＝－5，解得x1＝8，x2＝－2． (3)3x(x－1)＝2(x－1)(因式分解法)； (4)2x2－7x＋2＝0(公式法)． 逐点清(二)　 一元二次方程根与系数的关系 02 多维理解 |微|点|助|解| 求一元二次方程的根需注意 (1)首先要把方程变成一般形式． (2)注意方程有实根的前提条件是Δ＝b2－4ac≥0． (3)注意a，b，c应包含各自的符号． (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别． √ 1．关于x的一元二次方程x2＋x＋1＝0的根的情况是(　 ) A．两个不等的实数根 　 B．两个相等的实数根 C．没有实数根 　 D．无法确定 解析：∵x2＋x＋1＝0，∴Δ＝12－4×1×1＝－3<0，∴该方程无实数根． 微点练明 √ 14 4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0． (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值． 逐点清(三)　一元二次函数与图象 03 1．二次函数的解析式 (1)一般式：____________________； (2)顶点式：____________________，其中顶点为(h，k)； (3)交点式：_______________________，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标． 多维理解 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 2．二次函数的图象和性质 二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质 图象 开口方向 开口向上 开口向下 续表 对称轴 —————  顶点坐标  ————————  续表 增大 减小 减小 增大 √ 1．函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是(　 ) A．(－1,4) 　　 B．(－1，－4) C．(1，－4) 　　 D．(1,4) 解析：由y＝－(x－1)2＋4得函数图象的顶点坐标为(1,4)． 微点练明 √ 2．对于二次函数y＝2(x－3)2－5的图象，下列说法正确的是(　 ) A．图象与y轴交点的坐标是(0，－5) B．该函数图象的对称轴是直线x＝－3 C．当x＜－6时，y随x的增大而增大 D．顶点坐标为(3，－5) 解析：令x＝0，则y＝2(0－3)2－5＝13，∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,13)，∴A错误；∵y＝2(x－3)2－5，∴a＝2＞0，开口向上，顶点(3，－5)，对称轴是直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，∴B、C错误，D正确．故选D． 3．二次函数y＝x2－12x＋27的对称轴是_______． x＝6 4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________． －2和4 解析：法一　结合二次函数图象的对称性可知，方程的另一个根为－2． 法二　由题图可知，4是方程的一个根，所以－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，由－x2＋2x＋8＝0得(x＋2)(x－4)＝0，所以方程的根为－2和4． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，那么二次三项式2x2＋px＋q可分解为(　 ) A．(x＋1)(x－2) B．(2x＋1)(x－2) C．2(x－1)(x＋2) D．2(x＋1)(x－2) 16 解析：∵一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两根为－1和2，∴2(x＋1)(x－2)＝0，∴2x2＋px＋q可分解为2(x＋1)(x－2)．故选D． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．从－1,0,3,5,7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y＝mx2＋6x＋2与x轴有交点时的m的值有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．不解方程，判断关于x的方程2x2－(2m＋1)x＋(m2＋1)＝0的解集情况是(　 ) A．∅ B．非空集 C．单元素集合 D．二元集 解析：由判别式Δ＝(2m＋1)2－8(m2＋1)＝－4m2＋4m－7＝－(2m－1)2－6<0得方程的解集为空集．故选A． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．若非零实数a，b，c满足9a－3b＋c＝0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为(　 ) A．3 B．－3 C．0 D．无法确定 解析：把x＝－3代入方程ax2＋bx＋c＝0，得9a－3b＋c＝0，即方程一定有一个根为x＝－3． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．已知α，β是方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为(　 ) A．－1 B．2 C．22 D．30 解析：∵α是方程x2－2x－4＝0的实根，∴α2－2α－4＝0，即α2＝2α＋4，∴α3＝2α2＋4α＝2(2α＋4)＋4α＝8α＋8，∴原式＝8α＋8＋8β＋6＝8(α＋β)＋14，∵α，β是方程x2－2x－4＝0的两实根，∴α＋β＝2，∴原式＝8×2＋14＝30，故选D． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．(多选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1,0)，则下面结论正确的是(　 ) A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c＜0 C．b2－4ac＞0 D．当y＜0时，x＜－1或x＞4 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(　 ) A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 解析：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0．又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c． √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝3(x＋1)2＋4m(m为常数)上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(　 ) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 解析：∵抛物线y＝3(x＋1)2＋4m(m为常数)的开口向上，对称轴为直线x＝－1，而点C(2，y3)离直线x＝－1的距离最远，点A(－2，y1)离直线x＝－1最近，∴y1＜y2＜y3． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．若把多项式x2＋mx＋14分解因式后含有因式x＋7，则m＝______． 解析：设x2＋mx＋14＝(x＋7)(x＋n)，即x2＋mx＋14＝(x＋7)(x＋n)＝x2＋(7＋n)x＋7n，所以7n＝14,7＋n＝m，所以m＝9． 16 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．已知二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2－1的顶点在x轴上，则a＝________． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是______，m＝______． 16 5 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝1，则关于x的方程x2＋mx＝3的解为________． 16 －1和3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．当a－1≤x≤a时，二次函数y＝x2－4x＋3的最小值为8，则a的值为_________． 16 －1或6 解析：当y＝8时，有x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5． ∵当a－1≤x≤a时，函数有最小值8， ∴a－1＝5或a＝－1，∴a＝6或a＝－1． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(13分)已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． (1)求k的取值范围； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(17分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(－3,0)，B(1,0)，与y轴相交于点C． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (1)求抛物线的函数表达式； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 16 解：存在．对于y＝x2＋2x－3，令x＝0，则y＝－3， 即点C(0，－3)，抛物线的对称轴为直线x＝－1， 设点P(－1，m)，由勾股定理得AC2＝32＋32＝18，AP2＝22＋m2，PC2＝1＋(m＋3)2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ 因式 分解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A·B＝0的形式，则可将原方程化为两个一次方程，即A＝0或B＝0，从而得方程的两根 2．关于x的方程x2－4x＋7＝0的根是(　 ) A．x1＝2＋，x2＝2－ B．x1＝－2＋，x2＝－2－ C．无实数根 D．x1＝2＋，x2＝2－ 解：方程变形得3x(x－1)－2(x－1)＝0， 因式分解得(3x－2)(x－1)＝0， 解得x1＝，x2＝1． 解：由题意，知a＝2，b＝－7，c＝2． ∵Δ＝49－16＝33，∴x＝． 如果关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_____，x1x2＝_____． － 2．若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　 ) A． 　 B． C． 　 D． 解析：∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤且k≠0． 3．已知方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2，则x＋x＝_____． 解析：方程x2－4x＋1＝0的两根为x1和x2， 则x1＋x2＝4，x1x2＝1， 则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－2＝14． 解：根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0， 解得m≥－，∴m的最小整数值为－2． 解：根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2． ∵(x1－x2)2＋m2＝21， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2 ＝(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21． 整理得m2＋4m－12＝0，解得m1＝2，m2＝－6． ∵m≥－，∴m的值为2． x＝－ 增减性 当x>－时，y随x的增大而_____； 当x<－时，y随x的增大而_____ 当x>－时，y随x的增大而_____； 当x<－时，y随x的增大而_____ 最值 当x＝－时，y取到最小值_______ 当x＝－时，y取到最大值_________ 解析：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，故二次函数y＝x2－12x＋27图象的对称轴为x＝－＝6． 解析：因为是二次函数，所以m≠0．又因为二次函数图象与x轴有交点，故Δ＝36－8m≥0，即m≤，且m≠0．所以满足要求的m的值有2个． 5．若关于x的方程mx2＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 解析：若满足题意，则需m≠0，且Δ＝(2m＋1)2－4m2＝4m2＋4m＋1－4m2＝4m＋1>0，解得m>－，且m≠0． 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，所以x＝－＝1，即2a＋b＝0，故A正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，故B正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故C正确；因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1,0)，所以点A的坐标为(3,0)．所以当y＜0时，x＜－1或x＞3，故D错误． － 解析：由题意可知Δ＝(2a＋1)2－4a2＋4＝0，解得a＝－． 解析：将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为＝5． 解析：由题意可知－＝1，解得m＝－2，所以方程x2－2x＝3的解为－1和3． 解：(1)由题知，⇒ ∴k<且k≠1，故k的取值范围为(－∞，1)∪． 解：若x1＋x2＝0，即－＝0，k＝． 由(1)可知，这样的k不存在． 解：由题意得解得 故抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3． 当AC是斜边时，则18＝AP2＋PC2＝22＋m2＋1＋(m＋3)2， 解得m＝； 当AP是斜边时，则18＋1＋(m＋3)2＝22＋m2，解得m＝－4； 当PC是斜边时，则18＋22＋m2＝1＋(m＋3)2，解得m＝2． 即点P的坐标为或或(－1，－4)或(－1,2)． $$