1.5 第2课时 全称量词与存在量词的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

全称量词与存在量词的综合问题 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．能够根据数学实例，正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系，能正确地判断含有一个量词的命题的真假． 2．能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　全称量词命题与存在量词 命题的真假判断 题型(二)　全称量词命题与存在量词 命题的应用 课时跟踪检测 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N, 2x＋1是奇数； 解：(1)是全称量词命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． 题型(一)　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (3)对任意实数a，|a|＞0； 解：是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题． |思|维|建|模| 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 1．(多选)下列命题正确的是(　 ) A．∀x∈R，x2＋2>0 　 B．∀x∈N，x4≥1 C．∃x∈Z，x3<1 　 D．∃x∈Q，x2＝3 解析：对于A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题； √ 针对训练 √ 2．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假． (1)p：∃x∈∁RQ，x2∈Q； (2)p：所有能被2整除的数都是偶数； 解：綈p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以綈p为假命题． (3)p：存在x∈R，使得2x≤0； 解：綈p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为2x>0，所以綈p为真命题． 题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用 √ |思|维|建|模| 对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 题点2　由存在量词命题的真假求参数 [例3]　命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}． [变式拓展] 若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． |思|维|建|模| 对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 3．已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈p为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题．由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1．已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　 ) A．命题p，q都是真命题 B．命题p是真命题，q是假命题 C．命题p是假命题，q是真命题 D．命题p，q都是假命题 解析：当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：∀a，b∈R，a2＋b2<0为全称量词命题，但是a2＋b2≥0，故是假命题，故A错误；是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误；是存在量词命题，故C错误；既是全称量词命题也是真命题，故D正确． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．能说明全称量词命题“∀x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题的例子是(　 ) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为x(x2－3x＋2)＝0，即x(x－2)·(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以当x≠0且x≠1且x≠2时，均能说明全称量词命题“∀x∈R，x(x2－3x＋2)＝0”为假命题，故符合题意的为D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．如果命题綈p与綈q至少有一个为真命题，那么(　 ) A．p，q均为真命题 B．p，q均为假命题 C．p，q中至少有一个为真命题 D．p，q中至多有一个为真命题 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为命题綈p与綈q至少有一个为真命题，所以綈p与綈q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题．当綈p与綈q恰有一个为真命题时，p，q其中一个是真命题，另一个是假命题；当綈p与綈q都为真命题时，p，q均为假命题，所以p，q中至多有一个为真命题． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．命题“已知y＝|x|－1，∀x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是____________． 解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1. {m|m≤－1} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．能够说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为_____． 解析：∵x∈N*，将x代入1,2,3，…可知，当x＝3时，23<32，∴说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题． 3 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题的一组有序实数对(a，b)为_________________． (2,4)(答案不唯一) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； 解：綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根． ∵该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立， ∴綈p为假命题． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解：綈p：∃x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0. ∵x2＋y2＋2x－4y＋5＝(x＋1)2＋(y－2)2， 当x＝0，y＝0时，x2＋y2＋2x－4y＋5≠0成立， ∴綈p为真命题． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(8分)已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．下列命题为真命题的是(　 ) A．对每一个无理数x，x2也是无理数 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的素数都是奇数 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　 ) A．{a|a＞0} B．{a|a≥0} C．{a|a≤0} D．{a|a≤1} 解析：依题意命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，当a＝0时，1≥0成立，当a>0时，ax2＋1≥0成立，当a<0时，函数y＝ax2＋1开口向下，ax2＋1≥0不恒成立．综上所述，a≥0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 13．(多选)命题“∀－1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　 ) A．m≥9 B．m≥11 C．m≥10 D．m≤10 解析：因为∀－1≤x≤3，x2－m≤0，所以m≥x2，则m≥(x2)max＝9，所以当m≥9时，∀－1≤x≤3，x2－m≤0恒成立．要求使“∀－1≤x≤3，x2－m≤0”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于9，故m≥10，m≥11均可．故选BC. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？_____.(填“是”“否”中的一个) 是 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(10分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围； 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16．(10分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋4＝0，若命题綈p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围. 解：若命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题， 则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立， ∴a≤1.若命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋4＝0为真命题， 则Δ＝(2a)2－16≥0，解得a≤－2或a≥2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)存在一个x∈R，使＝0； 解：是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (4)有一个角α，使sin α＝. 解：是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． 对于B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题；对于C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立．所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题；对于D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题． 解：綈p：∀x∈∁RQ，x2∉Q，当x＝∈∁RQ， 则x2＝2∈Q，所以綈p为假命题． (4)p：∃x∈N*，∈N. 解：綈p：∀x∈N*，∉N， 因为＝3－，且x∈N*， 所以x＋1≥2，所以0<≤，所以3－∉N， 即∉N，所以綈p为真命题． 题点1　由全称量词命题的真假求参数 [例2]　若命题“∀1≤x≤2，ax＋1>0”是真命题，则a的取值范围是(　 ) A． B． C．{a|a>－1} D．{a|a≥－1} 解析：因为∀1≤x≤2，ax＋1>0， 所以解得a>－. 解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题， 故有>1，解得a<1.故a的取值范围是{a|a＜1}． 2．下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是(　 ) A．∀a，b∈R，a2＋b2<0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x0∈R, ＝x0 D．一次函数的图象是直线 5．已知命题p：“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是(　 ) A．{m|m<3} B．{m|m>3} C．{m|m≤3} D．{m|m≥3} 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立⇔Δ＝12－4m≥0，∴m≤3. 解析：由a2－ab＋b＝0，得ab－b＝a2，即b(a－1)＝a2，则b＝，令a＝2，得b＝4，故有序数对(2,4)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2－ab＋b＝0”是真命题． 解：题中的命题为全称量词命题， 因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0， 所以a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 解析：若x＝，则x2＝2是有理数，故A错误；因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0是假命题，故B错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是素数，但2不是奇数，故D错误．故选C. 解：由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A， 又B≠∅，所以 解得3≤m≤4.故m的取值范围是{m|3≤m≤4}． 解：因为B≠∅，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅，所以－3≤2m＋1≤10或－3≤3m－2≤10， 得－2≤m≤. 综上，m的取值范围是. ∵命题綈p和命题q都是真命题， ∴解得a≥2. 故a的取值范围是{a|a≥2}． $$