1.4 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件、充要条件 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件 逐点清(二)　必要条件 逐点清(三)　充要条件 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　充分条件 01 1．充分条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作_____，并且说，p是q的_____ 条件． 2．判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个____条件． 多维理解 p⇒q 充分 充分 |微|点|助|解| (1)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”． (4)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． √ 1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　 ) A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 微点练明 √ √ 解析：由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以选项D不符合题意． 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a，b为无理数，则ab为无理数； (2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； 解：由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解：因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． 逐点清(二)　必要条件 02 1．必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，q是p的_____条件． 2．性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_____条件． 多维理解 必要 必要 |微|点|助|解| (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件． (2)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”． (4)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． √ 1．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　 ) A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0 微点练明 √ √ 解析：A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0可以推出ab＝0，符合题意． 2．指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； 解：在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； 解：由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． (3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解：法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件． 法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 逐点清(三)　充要条件 03 多维理解 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，就记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为_____条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为_____条件． p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要 |微|点|助|解| 1．充分、必要、充要条件的传递性： ①p⇒q，q⇒s则p⇒s，即p是s的充分条件； ②q⇒p，s⇒q则s⇒p，即p是s的必要条件； ③p⇔q，q⇔s则p⇔s，即p是s的充要条件． 2．条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分又不必要条件 √ 微点练明 2．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 √ 3．指出下列各题中，p是q的什么条件．(“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； 解：∵p⇒q，q不能推出p， ∴p是q的充分不必要条件． (2)p：m<0，q：一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根和一负根； 解：记一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2， 则x1x2＝m， ∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0，x1x2<0⇔m<0， 故p是q的充要条件． (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； 解：∵p不能推出q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 解：∵ab＝0时，|ab|＝ab， ∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q. 而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件． 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．若p是q的充分条件，则q是p的(　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．不充分条件 D．不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．若集合A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　 ) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析：∵A＝{1, a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或a＝3，即a＝3⇒A⊆B，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神”．对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的(　 ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛．因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是(　 ) A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若a<3，则a<5 D．若x是无理数，则x2也是无理数 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　) A．p是q的既不充分也不必要条件 B．p是s的充分条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由已知得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要不充分条件．故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(多选)在下列四个结论中，正确的有(　　) A．x2>4是x3<－8的必要而不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于结论A，由x3<－8⇒x<－2⇒x2>4，但x2>4⇒x<－2或x>2⇒x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故A正确；对于结论B，由AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，但在直角△ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，故C不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故D正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．“x≠－1”是“x2－1≠0”的___________条件． 解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1， 因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件， 所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件． 必要不充分 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的______条件；q是p的______条件．(用“充分”“必要”填空) 充分 必要 解析：当k>5，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的______条件． 解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件． 充要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(16分)判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1) 已知x∈R，p：x>1，q：x>2； 解：法一　由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件．反之，若x>2，则必有x>1，所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 解：p：a能被6整除，故也能被3和2整除， q：a能被3整除，不一定能被6整除，故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； 解：由题意，知p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， ∴p是q的充要条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(19分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由． 解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0， 即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0， 故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件． 综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 解：，2为无理数，但×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件． 1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　 ) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．命题p：x≤1，命题q：≤1，则q是p的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：由q：≤1，得到x≥1或x＜0，由于p q，q p，故q是p的既不充分又不必要条件． 解析：因为p不是q的充分条件，所以q不是p的必要条件，故A错误；若一个三角形三边分别为5,6,9，另一三角形三边分别为6,6,8，两个三角形周长相等，却不全等，p不是q的充分条件，则q不是p的必要条件，故B错误；由a<3可以推出a<5，所以a<3是a<5的充分条件，则a<5是a<3的必要条件，故C正确；若x＝，则x2＝2，x2不是无理数，p不是q的充分条件，则q不是p的必要条件，故D错误． 6．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　 ) A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则＝ D．若x<y，则x2<y2 解析：B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y＜0时，，无意义；D项中，当x＜y＜0时，x2＞y2，所以B、C、D中p不是q的充分条件；显然A项正确． 9．(多选)下列命题，p是q的充要条件的是(　　) A．p：x＝1；q：x－1＝ B．p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5 C．p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形 D．p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA 解析：对于A，当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2.∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． 对于B，∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． 对于C，∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形，∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． 对于D，∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件． 法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则BA，所以p是q的必要不充分条件． $$