1.4 第2课时 充分、必要及充要条件的应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

充分、必要及充要条件的应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1．本节重点关注判定充分必要条件问题，或利用已知关系探求参数的取值范围问题． 2．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明，解题关键是分清命题的条件与结论，分清充分性和必要性这两个问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　充分、必要条件的探求 题型(二)　利用充分条件、 必要条件求参数 题型(三) 　充要条件的证明 4 课时跟踪检测 题型(一)　充分、必要条件的探求 √ [例2]　设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　 ) A．a，b都为1 B．a，b都不为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 解析：由ab＋1＝a＋b，可得(a－1)·(b－1)＝0，解得a＝1或b＝1，故“ab＋1＝a＋b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”．故选C. √ |思|维|建|模| 1．探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集； (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合． 2．探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立． (2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件． √ 针对训练 2．(多选)使0＜x＜3成立的一个充分条件是(　 ) A．2＜x≤3 B．0≤x＜1 C．0＜x≤2 D．1＜x＜2 解析：从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0＜x＜3}的子集．由于{x|0＜x≤2}⊆{x|0＜x＜3}，{x|1＜x＜2}⊆{x|0＜x＜3}，故选CD. √ √ 题型(二)　利用充分条件、必要条件求参数 设A，B为两个集合.A⊆B是指x∈A⇒x∈B，这就是说，“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A⊆B且A⊇B，即A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件；若A B且A B，则“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件，也不是“x∈B”的必要条件，即“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件. [例3]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．　 [变式拓展] 1．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 2．若本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． |思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合，明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件 获解 解不等式，得参数范围 3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． 针对训练 [例4]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性：(由ac＜0推证方程有一正根和一负根) 因为ac＜0， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＞0， 所以方程一定有两个不等实根． 题型(三)　充要条件的证明 |思|维|建|模|　充要条件证明的两个思路 直接法 证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性 集合 思想 记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 4．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx(k≠0)， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 针对训练 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1．使“|x|>1”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x>1 B．x<1 C．－1<x<1 D．x>－1 解析：设M＝{x||x|>1}，解得M＝{x|x>1或x<－1}，使“|x|>1”成立的充分不必要条件只需要为集合M的真子集，由选项可知A符合． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．a>b＋1 D．a>b－1 解析：由a>b可得a>b－1，故“a>b－1”是“a>b”的必要条件，由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b＋1，比如a＝－1，b＝－2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4} C．{m|m≤4} D．{m|m≥4} 解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以p⇒q，即A⊆B，所以m≥4.故选D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知p：4x－m<0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　 ) A．{m|m≥8} B．{m|m>8} C．{m|m>－4} D．{m|m≥－4} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6．已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝_______. 解析：由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1. －1 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是_________． 0≤a≤2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．若“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________． {a|a≤－2} 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的充要条件； 解：若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的充要条件是b≥－2. (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； 解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 解：由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2， 所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．设集合U＝{(x, y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x, y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x, y)|x＋y－n＞0}，那么点P(2, 3)∈(A∩B)的充要条件是(　 ) A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5 C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　 ) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 解析：因为B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}．又“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝______. 解析：由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4. 逐个分析，当n＝1, 2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2. 16 3或4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知2a－b＝3，写出使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为__________________________________． (用含m的式子表示) 16 m＝1(答案不唯一，满足m＞－1均可) 解析：2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(10分)记关于x的方程|x2＋ax＋b|＝2的解集为M，其中a，b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件； 解：(1)因为原方程等价于x2＋ax＋b＝2或x2＋ax＋b＝－2， 所以x2＋ax＋b－2＝0或x2＋ax＋b＋2＝0， 由于Δ1＝a2－4b＋8>a2－4b－8＝Δ2， 所以当Δ2＝0时，M恰有3个元素，即a2－4b＝8， 故M恰有3个元素的充要条件为a2－4b＝8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在(1)的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 充分性：若a＝－16，b＝62， 可解得M＝{6,8,10}，以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形． 所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a＝－16，b＝62. [例1]　使“x≤－或x≥3”成立的一个充分不必要条件是(　 ) A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{－1, 3, 5} D．x≤－或x≥3 解析：对于A，x<0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤－，反之也不能，是其既不充分也不必要条件； 对于C，x∈{－1,3,5}可以推出x≥3或x≤－，反之不能，是其充分不必要条件； 对于D，x≤－或x≥3，是其充要条件． 1．“a<0，b<0”的一个必要条件为(　 ) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C.>1 D．<－1 解析：对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．故选A. 解：设p代表的集合为A＝{x|－2≤x≤10}， q代表的集合为B＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 故有或 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 解：设p代表的集合为A，q代表的集合为B， 因为p是q的充分不必要条件，所以AB. 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 解：若p是q的充要条件， 则此方程组无解， 故不存在实数m， 使得p是q的充要条件． 解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以即 所以－1≤a≤5. 故实数a的取值范围为{a|－1≤a≤5}． 设两根为x1，x2，则x1x2＝＜0，所以方程的两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac＜0) 因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根， 设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝＜0，即ac＜0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 4．已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是<x<，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：由题意得⊆{x|m－1<x<m＋1}， 所以且等号不能同时成立， 解得－≤m≤. 解析：由4x－m<0，得x<；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. ∵p是q的一个必要不充分条件，∴>2，∴m>8. 解析：A∩B＝∅⇔解得0≤a≤2. 解析：因为“x≤－2”是“x<a”的必要不充分条件， 所以{x|x<a}{x|x≤－2}，即有a≤－2. 10．(8分)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：①必要性：由<，得－<0，即<0， 又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. ②充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 综上所述，<的充要条件是xy>0. 解析：∵P(2,3)∈(A∩B)，∴满足即 15．(10分)已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|a－1<x<a＋1，a∈R}． (1)当a＝2时，求(∁UA)∩(∁UB)； 解：因为A＝＝{x|2<x≤5}， 当a＝2时，B＝{x|1<x<3}，因为全集U＝R， 则∁UA＝{x|x≤2或x>5}，∁UB＝{x|x≤1或x≥3}， 因此，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤1或x>5}． 解：易知集合B＝{x|a－1<x<a＋1，a∈R}为非空集合， 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件， 则BA，所以解得3≤a≤4. 因此，实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}． 解：必要性：由(1)知，两个方程x2＋ax＋－4＝0或x2＋ax＋＝0，两个方程的三个根分别为－－2，－＋2，－，若它们是直角三角形的三边， 则2＋2＝2，解得a＝－16，b＝62. $$