1.3 第2课时 集合运算的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

集合运算的综合问题 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 进一步理解集合的交集、并集、补集，能根据集合的运算结果判断两个集合的关系，能利用交集、并集、补集的运算性质解决一些简单的应用问题． CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合的交、并、补混合运算 题型(二) 由集合的运算求参数 题型(三) 集合中新定义问题 4 课时跟踪检测 [例1]　(2023·天津高考)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则(∁UB)∪A＝(　 ) A．{1,3,5} B．{1,3} C．{1,2,4} D．{1,2,4,5} 题型(一)　集合的交、并、补混合运算 √ 解析：法一　因为U＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,4}，所以∁UB＝{3,5}， 又A＝{1,3}，所以(∁UB)∪A＝{1,3,5}．故选A. 法二　因为A＝{1,3}，且A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1,3，所以排除选项C、D；观察选项A、B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A. [例2]　设全集U＝{x∈N*|x≤9}，若∁U(A∪B)＝{1,3}，A∩(∁UB)＝{2,4}，则集合B＝(　 ) A．{4,5,6,7,8,9} B．{2,4,5,6,7,8,9} C．{5,6,7,8} D．{5,6,7,8,9} 解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，由∁U(A∪B)＝{1,3}，得A∪B＝{2,4,5,6,7,8,9}．又A∩(∁UB)＝{2,4}，所以B＝{5,6,7,8,9}． √ |思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　 1．(多选)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为(　 ) A．2 B．6 C．8 D．12 解析：因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素．设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x.因为m≥8，所以x≤10.又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10. 针对训练 √ √ 解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示． [例3]　已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|1－a<x<2a}．若(∁RA)∪B＝R，求实数a的取值范围． 题型(二)　由集合的运算求参数 [变式拓展] 1．若本例条件“(∁RA)∪B＝R”变为“A∪B＝A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 2．若本例条件变为已知集合A＝{x|2a－3<x<a＋1}，B＝{x|0<x≤1}．若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． |思|维|建|模|　解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 (1)不能忽视集合为∅的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论 常用 方法 对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答 3．设集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，若A∪B＝{0,1,2,3,4}，则m＋n的值是(　 ) A．1 B．3 C．5 D．7 √ 针对训练 4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B⊆∁RA，则a的取值范围为_____________． [例4]　设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是(　 ) A．7 B．10 C．25 D．52 题型(三)　集合中新定义问题 √ 解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示： y x　 －1 0 1 2 3 0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个．故选B. |思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在． (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可． 5．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的是(　 ) √ 针对训练 解析：如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分． 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ A级——达标评价 1．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁UN＝(　 ) A．{0,2,4,6,8} B．{0,1,4,6,8} C．{1,2,4,6,8} D．U 解析：由题意知，∁UN＝{2,4,8}，所以M∪∁UN＝{0,2,4,6,8}．故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知集合M一定含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x≥1}，若(∁RB)∪A＝A，则实数a的取值范围为(　 ) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} 解析：因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为(∁RB)∪A＝A，所以(∁RB)⊆A，所以a≥1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．已知(∁RA)∩B＝∅，则下列选项中一定成立的是(　 ) A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R 解析：作出Venn图如图所示，则B⊆A，所以A∩B＝B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：法一　M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10,11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6,9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A. 法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}．若集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，则∁(A*B)A＝(　 ) A．{0} B．{0,4} C．{0,6} D．{0,4,6} 解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}，A∪B＝{0,1,2,3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0,1,2,3,4,6，所以A*B＝{0,1,2,3,4,6}，所以∁(A*B)A＝{0,4,6}．故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∪(∁UB)＝______. 解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁UB＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∪(∁UB)＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R. R 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝_________________. 解析：A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}． {x|－3≤x<0或x>3} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9．(8分)已知全集U＝{x|－10≤x≤10}，A＝{x|－1≤x≤10}，B＝{x|－5≤x<5}． (1)求∁UA； 解：由U＝{x|－10≤x≤10}，A＝{x|－1≤x≤10}， 得∁UA＝{－10≤x<－1}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求(∁UB)∩A； 解：因为U＝{x|－10≤x≤10}，B＝{x|－5≤x<5}， 所以∁UB＝{x|－10≤x<－5或5≤x≤10}， 所以(∁UB)∩A＝{x|5≤x≤10}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求∁U(A∪B)． 解：因为A∪B＝{x|－5≤x≤10}， 所以∁U(A∪B)＝{x|－10≤x<－5}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10．(10分)已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2<x<5}． (1)求A∩B与(∁RA)∪B； 解：由集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<5}， 可得A∩B＝{x|2<x<3}． 又由∁RA＝{x|x≤1或x≥3}，得(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设集合P＝{x|a<x<a＋2}，若P⊆(A∪B)，求实数a的取值范围． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11．如图中的阴影部分，可用集合符号表示为(　 )   A．(∁UA)∩(∁UB) B．(∁UA)∪(∁UB) C．(∁UB)∩A D．(∁UA)∩B √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即题图中的阴影部分可以用A∩(∁UB)来表示，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则(　 ) A．k<0或k>3 B．2<k<3 C．0<k<3 D．－1<k<3 解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁UA＝{x|1<x<3}．若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 13．我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．某校初一四班学生46人寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有(教材阅读与思考改编)(　 ) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设集合A＝{参加足球队的学生}，集合B＝{参加排球队的学生}，集合C＝{参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，得46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4，故三项都参加的有4人． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋b－1＝0}，集合B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}． (1)若b＝－9，且集合C满足：A∩C≠∅，C∪B＝B，求出所有这样的集合C； 解：当b＝－9时，A＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}， B＝{x|(x－4)(x2－x－2)＝0}＝{4,2，－1}． 因为C∪B＝B，所以C⊆B.因为A∩C≠∅，所以C≠∅. 因为A∩B＝{2}，所以2∈C， 故C＝{2}，{2，－1}，{2,4}或{2,4，－1}． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A＝∅，若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(12分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，a－b∈A，则称集合A为闭集合． (1)判断集合A1＝{－4，－2,0,2,4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明； 解：(1)因为4∈A1,2∈A1,4＋2＝6∉A1，所以A1不是闭集合． 任取x，y∈B，设x＝3m，y＝3n，m，n∈Z， 则x＋y＝3m＋3n＝3(m＋n)且m＋n∈Z， 所以x＋y∈B，同理，x－y∈B，故B为闭集合． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合？请说明理由； 解：结论：不一定． 不妨令C＝{x|x＝2k，k∈Z}，D＝{x|x＝3k，k∈Z}， 则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合． 因为2,3∈C∪D,2＋3＝5∉C∪D， 因此，C∪D不一定是闭集合．所以若集合C，D为闭集合， 则C∪D不一定为闭集合． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 因为U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}， 所以A∩B＝{x|－1<x<2}，∁UB＝{x|x≤－1或x>3}． 又P＝，所以(∁UB)∪P＝. 又∁UP＝， 所以(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩＝{x|0<x<2}． 解：因为A＝{x|0≤x≤1}，所以∁RA＝{x|x<0或x>1}， 又因为B＝{x|1－a<x<2a}且(∁RA)∪B＝R， 所以解得a>1， 故实数a的取值范围为{a|a>1}． 解：因为A∪B＝A，则B⊆A.若B＝∅，则2a≤1－a，解得a≤. 若B≠∅，则解得<a≤. 综上所述，实数a的取值范围为. 解：由题意知A∩B＝∅， 当A＝∅时，2a－3≥a＋1，解得a≥4. 当A≠∅时，或 解得2≤a<4或a≤－1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1或a≥2}． 解析：因为集合A＝{0,2,4}，B＝{x|x2－mx＋n＝0}，A∪B＝{0,1,2,3,4}，则B＝{1,3}，所以1,3是方程x2－mx＋n＝0的两根，所以因此m＋n＝4＋3＝7. 解析：由题意得∁RA＝{x|x≥－1}， ①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA； ②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a<a＋3， 即－≤a<3.综上可得，a≥－. 解：由集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<5}， 可得A∪B＝{x|1<x<5}． 由集合P＝{x|a<x<a＋2}且P⊆(A∪B)，可得 解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}． 解：因为(∁UB)∩A＝∅，所以A⊆B， 若A＝∅，则满足A⊆B，此时Δ＝9－4(b－1)<0，解得b>. 若－1∈A，则(－1)2－3＋b－1＝0，解得b＝3， 所以x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1或x＝－2， 故A＝{－1，－2}，不满足A⊆B，舍去； 若2∈A，则22＋6＋b－1＝0，解得b＝－9， 所以x2＋3x－10＝0，解得x＝－5或x＝2， 所以A＝{－5,2}，不满足A⊆B，舍去； 若4∈A，则42＋12＋b－1＝0，解得b＝－27， 所以x2＋3x－28＝0，解得x＝－7或x＝4，不满足A⊆B，舍去． 综上，实数b的取值范围是. (3)若集合C，D为闭集合，且CR，DR，证明：(C∪D)R. 解：证明：不妨假设C∪D＝R，则由CR，可得存在a∈R且a∉C，故a∈D.同理，存在b∈R且b∉D，故b∈C.因为a＋b∈R＝C∪D，所以a＋b∈C或a＋b∈D.若a＋b∈C，则由C为闭集合且b∈C，得a＝(a＋b)－b∈C，与a∉C矛盾．若a＋b∈D，则由D为闭集合且a∈D，得b＝(a＋b)－a∈D，与b∉D矛盾，综上，C∪D＝R不成立，故(C∪D)R. $$