1.2 集合间的基本关系（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

1.2 集合间的基本关系 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念． 2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法． 3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示． 4．在具体情境中，了解空集的含义，并注意空集在解题中的影响． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　子集与集合相等 逐点清(二)　真子集与空集 逐点清(三)　由集合间的关系求参数范围 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　子集与集合相等 01 1．Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 多维理解 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是______________，就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作______ (或B⊇A)，读作“___________”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即______. (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则_____ 集合B中的元素 A⊆B A包含于B A⊆A A⊆C 3．集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作______，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则______. A＝B A＝B |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义：对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“⊆”的区别：“⊆”用于表示集合与集合之间的关系；“∈”用于表示元素与集合之间的关系． 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a∈A，则{a}⊆A. (　 ) (2)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B. (　 ) 微点练明 √ √ √ 2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　 ) A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D 解析：因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B. 3．已知集合A＝{0,1，a2}，B＝{0,1,2a＋3}，若A＝B，则a等于(　 ) A．－1或3 B．0或1 C．3 D．－1 解析：由A＝B，得a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3.当a＝－1时，A＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，舍去．当a＝3时，A＝{0,1,9}＝B，满足题意．故选C. √ 4．指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； 解：(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； 解：正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； 解：集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 逐点清(二)　真子集与空集 02 1．真子集 多维理解 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且______，就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作______(或BA)，读作“____________”(或“B真包含A”) x∉A A真包含于B 续表 2．空集 定义 一般地，我们把______________的集合叫做空集 记法 ___ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅ A 不含任何元素 ∅ |微|点|助|解| (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)0，{0}，{∅}与∅之间的关系 √ 微点练明 √ 2．下列四个集合中，是空集的是(　 ) A．{x|x＋3＝3}　 B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 解析：A中集合为{0}，B中为{(0,0)}，C中为{0}，而D中方程无解，是空集． √ 4．已知集合Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，则实数k的取值范围是________． 解析：∵Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}＝∅，∴k＋1>2k－1，解得k<2. {k|k<2} 5．填写下表，并回答问题： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅     {a}     {a，b}     {a，b，c}     由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 解： 集合 集合的子集 子集的个数 ∅ ∅ 1 {a} ∅，{a} 2 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8  由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2. 逐点清(三)　由集合间的关系求 参数范围 03 [典例]　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． [变式拓展] 1．若本例条件“B⊆A”变为A⊆B，求实数m的取值范围． 解：若A⊆B，数轴表示如下： 2．本例条件不变，是否存在实数m，使得A＝B？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在满足题意的实数m.若A＝B， 则必有m＋1＝－2且2m－1＝5，此时无解，即不存在使得A＝B的实数m. 3．若本例条件“集合A”变为“A＝{x|x＜－5或x＞2}”，“集合B”变为“B＝{x|2a－3＜x＜a－2}”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：①当B＝∅时，2a－3≥a－2，解得a≥1.显然成立． ②当B≠∅时，2a－3＜a－2，解得a＜1.由已知A⊇B，如图在数轴上表示出两个集合， |思|维|建|模| 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的集合． 针对训练 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{3,4,5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为(　 ) A．1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,6 C．1,2,3,6 D．1,2,6 解析：由B⊆A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1,2,6. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2．下列集合中为∅的是(　 ) A．{0} B．{∅} C．{x|x2＋4＝0} D．{x|x＋1≤2x} 解析：集合{0}中有一个元素0，A不符合题意；集合{∅}中有一个元素∅，B不符合题意；由方程x2＋4＝0，即x2＝－4，此时方程无解，可得{x|x2＋4＝0}＝∅，C符合题意；不等式x＋1≤2x，解得x≥1，{x|x＋1≤2x}＝{x|x≥1}，D不符合题意．故选C. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集个数为(　 ) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　 ) 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　 ) A．2 B．－1 C．－2 D．4 解析：∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9，3,8}，则A可以是(　 ) A．{1,8} B．{2,3} C．{1} D．{2} 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中的元素应为B和C的共同元素．∵B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}．结合选项知，A、C选项满足题意，故选AC. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 9．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．±1 解析：当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 解析：依题意有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1,0,1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为_______． 解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P. 16 M＝P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．若A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则B＝____________________. 解析：因为A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，所以集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，则集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}． 16 {∅，{1}，{2}，{1,2}} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是__________． 16 {m|m≤4} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．已知非空集合P满足：①P⊆{1,2,3,4,5}；②若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为______． 解析：由a∈P,6－a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个． 16 7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15．(15分)已知集合A＝{1,2,3}． (1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M； 解：∵M⊆A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16．(15分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围． 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 AB 图示 性质 ①真子集具有传递性，即若AB，BC，则AC； ②含有n个元素的有限集合的真子集个数为(2n－1)个 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　 ) A．M＝N B．NM C．MN　 D．N⊆M 解析：解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN. 3．满足{1}⊆A{1,2,3,4}的集合A的个数为(　 ) A．7 B．8 C．15 D．16 解析：∵{1}⊆A，∴1∈A，∵A{1,2,3,4}，∴满足题意的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个．故选A. 解：若B＝∅，满足B⊆A，则m＋1>2m－1，解得m<2. 若B≠∅，满足B⊆A，则 解得2≤m≤3.综上，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}． 依题意有即 此时m的取值范围是∅. 由图可知，2a－3≥2或a－2≤－5，解得a≥或a≤－3. 又因为a＜1，所以a≤－3. 综上，实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤－3}． 解：因为M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{x|(x＋1)(x－3)＝0}＝{－1,3}，N＝{x|ax－1＝0}，若a＝0，则N＝∅，此时满足N⊆M；若a≠0，则N＝，因为N⊆M，故＝－1或＝3，解得a＝－1或a＝，所以a的取值集合为. 4．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　 ) A．AB B．BA C．A＝B D．A⊆B 解析：∵B＝＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴BA. 解析：由x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 10．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　 ) A．2 B．1 C. D．－1 解析：由集合B＝{x|1<x<m}，若m≤1时，可得B＝∅，此时满足B⊆A；若m>1时，要使B⊆A，则满足解得1<m≤4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤4}． 解：当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A； 当a≠0时，B＝； 若B⊆A，则＝1或＝2或＝3， 解得a＝3或a＝或a＝1. 综上所述，实数a的取值集合为. 解：①当A无真子集时，即A＝∅时， 则方程ax2＋2x＋1＝0无实根， 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意． 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}． $$