1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）  

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 集合的概念 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1．通过实例了解集合与元素的含义，能判断元素与集合的关系． 2．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题． 3．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系． CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　元素与集合的概念 逐点清(二)　元素与集合的关系 逐点清(三)　集合中元素特征的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　元素与集合的概念 01 1．元素与集合的含义 元素 一般地，把_________统称为元素 集合 把一些_____组成的总体叫做集合，简称为____ 符号表示 元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 研究对象 元素 集 多维理解 |微|点|助|解| (1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念． (2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 2．集合相等 只要构成两个集合的元素是_____的，我们就称这两个集合是相等的． 3．集合中元素的特征  一样 确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素． (　 ) (2)好听的歌能组成一个集合． (　 ) (3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素． (　 ) (4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的． (　 ) × × × √ 微点练明 2．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是(　 ) A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．唐宋散文八大家 √ √ √ 解析：A中“最美”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD. 3．集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n” “t”5个元素． √ 1 －2 2 逐点清(二)　元素与集合的关系 02 1．元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果________________，就说a属于集合A _______________ “a属于A” 不属于 如果___________________，就说a不属于集合A _______________ “a不属于A” a是集合A的元素 a∈A a不是集合A中的元素 a∉A 多维理解 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 _ ________ ___或N＋ ___ ___ ___ N N* Z Q R |微|点|助|解|　 (1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的． (2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立． (3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性(开口对着集合)，左右两边不能互换． (4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N＋表示正整数集，N包括元素0，而N*与N＋不包括元素0. √ 微点练明 √ √ 3．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，且2∈A，则(　 ) A．a>－4 B．a≤－2 C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2 4．(多选)下列说法正确的是(　 ) A．集合N与集合N*是同一个集合 B．集合N中的元素都是集合Z中的元素 C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D．集合Q中的元素都是集合R中的元素 解析：因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确． √ √ 5．用符号“∈”和“∉”填空： (1)设集合A为所有偶数组成的集合，则0_____A，－2 024_____A； (2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合，则－1_____B，(－1,1)_____B. ∈ ∈ ∉ ∈ 逐点清(三)　 集合中元素特征的应用 03 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值． 解：由题意，可知a＝1或a2＝a， 若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1. 若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)， 又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0. 多维理解 [变式拓展] 1．本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． 解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 2．本例条件中“若1和a互换位置”，求实数a的值． 解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1. 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1. |思|维|建|模|　由集合中的元素特征求参数的步骤 √ 针对训练 √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 √ 1．(多选)下列各组对象能构成集合的是(　 ) A．倒数等于它本身的数 B．某班视力较好的同学 C．所有锐角三角形 D．小于π的正整数 解析：根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选ACD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是(　 ) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4．(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是(　 ) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 解析：由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是(　 ) A．1 B．0 C．－2 D．2 解析：因为－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是(　 ) A．1∈M B．0∈M C．－1∈M D．－2∈M 解析：由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1，所以－1∈M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8．(多选)下列说法正确的是(　 ) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确． 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 故当x＝0时，这几个实数均为0； 当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x； 当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x. 最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1______D，(－1,1)______D. 解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1,1)∈D. ∉ ∈ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝______. 解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2<x<a，则满足条件的x的值为3,4,5，所以整数a的值是6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13．已知集合M有2个元素x,2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是______． ①2∈M；②1∈M；③x≠3. ② 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14．(16分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数？ 解：根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若4∈A，求实数m的值． 解：由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素． 4．已知集合A中含有3个元素a,0，－1，集合B中含有3个元素c＋b，，1，且集合A和集合B是相等的，则a＝______，b＝________，c＝________. 解析：∵集合A和集合B是相等的，又≠0， ∴a＝1，c＋b＝0，＝－1，∴b＝－2，c＝2. 1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　 ) A．3.14 B．－5 C. D． 解析：因为是实数，但不是有理数，所以选D. 2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　 ) A.∈M B．0∉M C．1∈M D．－∈M 解析：由题意可知解得－4<a≤－2. 1．由a2,2－a,3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是(　 ) A．－1 B．1 C. D．2 解析：由题意知a2,2－a,3组成一个集合A，A中元素个数不是2，因为a2＝2－a＝3无解，故由a2,2－a,3组成的集合A的元素个数为3，故a2≠2－a≠3，即a≠－2，a≠±1，a≠±，即a可取2，故A、B、C错误，D正确． 2．已知集合P有三个元素－1,2a＋1，a2－1.若0∈P，则实数a的值为(　 ) A．－　 B．1　 　 C．－或1　 D．0或1 解析：因为0∈P，所以2a＋1＝0或a2－1＝0.当2a＋1＝0，即a＝－时，P中含有元素－1，0，－，满足题意；当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则P中含有元素－1,3,0，满足题意；若a＝－1，则P中含有元素－1，0，不满足题意．综上，实数a的值为－或1. 2．(多选)下列元素与集合的关系正确的是(　 ) A．－1∈N B．0∉N* C.∈Q D．∈R 解析：因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对于B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，D错误． 9．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　 ) A．0∈M B．－1∈M C．3∉M D．1∈M 10．由实数x，－x，|x|, ，－ 所组成的集合中，含有元素的个数最多为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵＝|x|，－＝－|x|， 解析：依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3.对于①，当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；对于②，当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确，③显然正确． 15．(19分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； 解：证明：因为1∉S，a∈S， 所以1－a≠0，且∈S， 可得＝＝1－∈S， 故若a∈S，则1－∈S. 解：由2∈S，得＝－1∈S； 由－1∈S，得＝∈S； 而当∈S时，＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，两个元素． $$