精品解析：江西省南昌市第十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

南昌十中2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试题 命题人：经开高二数学组 审题人：经开高二数学组 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据空间直角坐标系中点的对称性可得解. 【详解】依据空间直角坐标系中点的对称性可知： 点关于平面的对称点的坐标为， 故选：A 2. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 3. 已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 5. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：A 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值. 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与共面定理可判断A，利用空间向量的坐标判断两法向量平行与否，从而判断B，利用向量共线与数量积的坐标表示可判断C，利用方向向量与法向量的关系求得线面角，从而判断D. 【详解】对A，由可得，， 即，所以，，，四点共面，A正确； 对B，由题，，所以，不共线， 故与不平行，B错误； 对C，当，共线时，则，且，解得， 若为钝角，则，解得且，C错误； 对D，由，所以与所成角为，D正确； 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象表示过原点的所有直线 B. 函数的最小值为5 C. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D. 若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点斜式适合范围判断A，根据距离和最小确定B,应用截距相等判断C,应用平移得出直线结合待定系数法判断D. 【详解】对于A：函数不能表示与轴重合的直线，故A不正确； 对于B： ， 表示点与，距离之和， 如图所示，当三点，，不共线时，， 当三点，，共线时，， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：当直线与两坐标轴的截距为0时，即直线过原点时，设直线方程为， 把点代入，得，所以直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为，即， 把点代入，得，所以直线方程为. 综上直线方程为或，故C不正确； 对于D：设直线的方程为， 沿着轴向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得， 即， 所以，即，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据向量垂直的坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D. 【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 对于A，假设存在点，使得， 因为，， 所以，解得，不合题意，故A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，, 所以， 解得，不符合， 则不存在点，使得异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C，连接，， 因为， 点到平面的距离， 所以， 因为，所以，故C正确； 对于D，当点运动到中点时，，又， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，故D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可． 【详解】直线与直线平行， 所以， 直线与直线的距离为 ． 故答案为：． 13. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设夹角，则,由即得解. 【详解】由题意知，． 设，则． 又，则，故． 故答案为： 14. 已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点，则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，得，运用两点间的距离公式计算即可. 【详解】解：作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据垂直关系求的斜率，再代入点斜式直线方程； （2）首先利用中点坐标公式求点的坐标，再根据直线上两点求直线的斜率以及直线方程. 【小问1详解】 因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为； 【小问2详解】 因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则，即可容易表示目标向量； （2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可； （3）根据（2）中所求，结合向量夹角余弦值的计算公式，代值即可. 【详解】（1）连接，如图： 因为，， 在，根据向量减法法则可得： 因为底面是平行四边形 故 因为 且 又为线段中点 在中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 故 由（1）可知 故平行四边形中 故： 故 （3）因为， 又 【点睛】本题考查用基向量表示空间向量，涉及空间向量数量积的运算、模长的求解以及夹角的求解，属综合基础题. 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】 （1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 底面中，已知，，， 由余弦定理得， 所以， 又平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面； （2）； （3）存在，或，理由如下： 假设存在，不妨设，由（2）可知， 则， 设与平面所成角为， 则， 解之得或，即存在M符合题意，此时或. 【解析】 【分析】（1）证明即可判定线面垂直； （2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可； （3）利用空间向量研究线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知三直线两两垂直，可以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有 及， 取，取， 即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 略 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为 【解析】 【分析】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，由直线为平面和平面的交线，则，，列出方程即可求解； （2）设，由平面经过点，，列出方程中求得，记平面的法向量为，求出与交线方向向量为，根据，即可求得的值； （3）由题可知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，由题得出平面和平面的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】 记平面，的法向量为，设直线的方向向量， 因为直线为平面和平面的交线， 所以，，即，取，则， 所以直线的单位方向向量为． 【小问2详解】 设， 由平面经过点，， 所以，解得，即， 所以记平面的法向量为， 与（1）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得． 【小问3详解】 由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示， ，， 设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为， 平面，设平面法向量， 平面，设平面法向量， 所以， 所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十中2024-2025学年上学期第一次月考 高二数学试题 命题人：经开高二数学组 审题人：经开高二数学组 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为 A. B. C. D. 2. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 5. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象表示过原点的所有直线 B. 函数的最小值为5 C. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为 D. 若将直线上一点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，仍在该直线上，则该直线的斜率为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当点运动到中点时，与平面所成角的余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 13. 定义.若向量，向量为单位向量，则的取值范围是__________. 14. 已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点为. （1）求边上的高所在直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 18. 如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $