精品解析：河北省石家庄一中2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

绝密★启用前 河北省2025届高三学生全过程纵向评价专题二 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由题可知，，所以， 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法求复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 已知是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案. 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 4. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 5. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 6. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 7. 已知函数，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出的取值，再根据，分是函数的一个对称中心与不是对称中心两种情况讨论，分别求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，所以， 则或， 又，， 当是函数的一个对称中心时，， 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 若，则， 所以，则，又， 所以当时； 当不是函数的一个对称中心时，因为， 即， 所以， 所以，又， 所以当时， 综上所述：. 故选：C 8. 已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，问题等价于函数有三个零点，利用导数研究函数单调性，判断极值的符号，求结论成立的条件. 【详解】函数有三个零点， 则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求， 令，问题等价于在上有三个不等的实数根， 函数，则的定义域为，有三个零点， ， 设，其中， ①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意； ②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意； ③当，且，即时，设的两根为，， 解得，， ，解得或，，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，， 构造函数，则有， 当时，单调递增；当时，单调递减， 有，所以，即. 取，， （其中，所以，即， 取，， （其中，所以，即， 所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点， 在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且， 所以时，有三个零点，此时， 即时，函数有三个零点. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；利用二项展开式的二项式系数特点即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，由的展开式知，取，得， 取，得， 两式相减可得，，所以， 所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 的图象关于对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得. 【详解】因为，， 令可得，解得或， 又当时，恒成立，所以，故A错误； 令，，则，即， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则，所以， 令，，则，所以，故C正确； 令可得， 令，可得，又， 所以，即， 所以， 所以的图象关于对称，故D正确. 故选：BCD 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 点的轨迹长度为 C. 异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D. 三棱锥外接球与球内切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体内切球的性质判断A；利用面面平行确定点的轨迹，即可求得其长度，判断B；根据异面直线所成角的概念，确定该角取到最值时的位置，即可判断C；根据圆内切的判断条件可判断D. 【详解】由题意知球的半径为1，故其体积为，故A选项正确； 取的中点为， 连结，易知，平面，平面， 故平面， 连接MN，，即四边形为平行四边形， 则，平面，平面，所以平面． 又因为，平面， 故平面平面，平面平面，结合平面， 故点的轨迹为线段，故B选项错误； 因为，故异面直线与BP所成角等于或其补角， 当P位于N点时，得取得最小，; 当P位于点时，取得最大，，故选项正确； 由正方体几何性质易知， 故BM为三棱锥外接球的直径，取为BM的中点， 即为三棱锥外接球的球心，由题意知为的中点， 故， 因为球的半径为，球的半径为， 故三棱锥外接球与球内切，D正确 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：解答此类题目的关键是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定理以及性质，准确判断，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 【答案】150 【解析】 【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解． 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 13. 函数，若实数满足，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导，得到，利用基本不等式得到，，从而有在定义域上单调递增，再根据条得到，从而将问题转化成，即可求解. 【详解】由，得到， 因为， 所以， 因为，得到，所以， 当且仅当，即时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，所以在定义域上单调递增， 又，所以， 由，得到， 所以，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用导数和基本不等式得到在定义域上单调递增，根据条件得到，从而将问题转化成求解不等式，再利用单调性，即可求解. 14. 已知抛物线的焦点为F，点M（异于原点O）在抛物线上，过M作C的切线l，，垂足为N，直线MF与直线ON交于点A，点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，可求的最小值. 【详解】如图： 因为点在抛物线上，且不与原点重合，可设（）. 则过点的切线方程为：，即. 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为：. 当时，因为点坐标为，直线的方程为：. 由得. 设（）. 当时，直线：，直线：，此时； 当时，直线：，直线：，此时. 点，都在圆上. 所以点的轨迹为圆：. 又，所以. 故的最小值为：. 故答案为： 【点睛】结论点睛：若点为二次曲线上一点，过该点的曲线的切线方程可以用如下方法得到：用代替，用代替，用代替，用代替. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形的内角和与两角和与差的三角函数公式化简可求角. （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【小问1详解】 由， 由正弦定理，可得， 因为为三角形内角，所以，所以， 得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 ∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴， 故的面积的取值范围为． 16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在平行四边形中，因为， 所以四边形为菱形，故， 又因为，故为等边三角形， 故． 在中，，, 所以，故 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，因此． 又因为，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由得四边形为菱形，则，由已知的数据结合勾股定理逆定理得，而，则平面，所以，再由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）取的中点，连结BM，则两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连结BM，因为为等边三角形， 所以， 因为‖，所以， 因为平面，平面， 所以， 故两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则 ， 令，得； 设平面的法向量为，则 , 令，得． 设平面与平面所成角为， 则． 17. 已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）证明：是钝角． 【答案】（1） （2） 如图： 因为、两点异于点，故直线斜率不为. 设直线：， 由. 设，，则，. 所以 ， 所以为钝角或平角（舍去）. 故为钝角. 【解析】 【分析】（1）根据条件，求，可得椭圆的方程. （2）设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，再证即可. 【小问1详解】 由题意：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 略 18. 已知函数的最小值是，． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，求函数的最小值，利用最小值为，可求的值. （2）构造函数，，利用恒成立，可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由. 【小问2详解】 设，则问题转化为在上的最小值大于0. 因为，. 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立； 当时，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 设，则在上恒成立. 所以在上单调递减. 又，. 由为整数，所以的最大值为2. 19. 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”． （1）判断数集是否为“数集”； （2）已知数集是“数集”，证明： ①； ②． （3）已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：． 【答案】（1）数集不是“数集”. （2）①证明：由题可知，当时，此时有,所以，又因为，故； ②证明：令，显然，故，因为，共项均属于数集，又因为共项均属于数集，所以有，所以可以得到，利用倒序相加可知，故，证毕. （3）证明：由（2）可知时，，可得， 所以，两式求差可得， 因为，所以 所以构成了以首项，为公差的等差数列； 同理具有“数集”性质的元素是首项，为公差的等差数列； 所以， 所以， 所以 ，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用“数集”定义判断即可; （2）①直接令，就可知，因为，可证得； ②令，显然，故，然后利用不同项的大小关系，以及， 可得到，最后得到，然后倒序相加即可； （3）利用（2）得到的然后得到， 然后求差得到，可以得到，所以任何具有“数集”性质的数集的元素是一个以首项， 为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和公式证明需要结果即可. 【小问1详解】 取，所以此时，, 所以数集不是为“数集”. 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题最主要的是找到不同元素之间的联系，找到“数集”的不同元素的关系计算即可，第二问的目的就是找到一些元素之间的关系，然后用于第三问，最终找到元素构成等差数列计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 河北省2025届高三学生全过程纵向评价专题二 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前、考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知函数，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 8. 已知函数有三个零点，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 10. 已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 的图象关于对称 11. 已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 点的轨迹长度为 C. 异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为 D. 三棱锥外接球与球内切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 13. 函数，若实数满足，则的取值范围为________． 14. 已知抛物线的焦点为F，点M（异于原点O）在抛物线上，过M作C的切线l，，垂足为N，直线MF与直线ON交于点A，点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． （1）求B； （2）若，求的面积S取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知焦距为的椭圆的右焦点为，右顶点为，过F作直线与椭圆交于、两点（异于点），当轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）证明：是钝角． 18. 已知函数的最小值是，． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求整数k的最大值． 19. 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”． （1）判断数集是否为“数集”； （2）已知数集是“数集”，证明： ①； ②． （3）已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $